Tích phân suy rộng

**NguoiDien** · 12-23-2009, 08:11 PM

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I. Tóm tắt lý thuyết Tích phân suy rộng:

I.1 Định nghĩa:

Giả sử $f(x)$ xác định trên $[\alpha ; +\infty )$ và khả tích trên một đoạn hữu hạn $a\leq x\leq b<+\infty$ .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

$\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^ {+\infty}f(x)dx$

thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của $f(x)$ trên $[a;+\infty )$

Nếu giới hạn này hữu hạn ta nói tích phân suy rộng $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ là hội tụ.

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ là phân kỳ.

Ví dụ:

$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}dx$ là hội tụ.

$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x}dx$ là phân kỳ.

I.2 Định nghĩa:

$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{a\rightarrow -\infty}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ .

I.3 Tích phân suy rộng với các cận vô hạn:

Cho hàm số $f: \quad R\rightarrow R$ khả tích trên $[a;b]$ với mọi $a,b\in R$ . Tích phân suy rộng với các cận vô hạn, kí hiệu là: $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ .

Tích phân suy rộng $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ hội tụ khi và chỉ khi cả $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ và $\int\limits_{-\infty}^{a}f(x)dx$ cùng hội tụ với mọi $a\in R$ . Khi đó:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int\limits_{a}^{+\infty}f (x)dx+\int\limits_{-\infty}^{a}f(x)dx$ với mọi $a\in R$ .

I.4 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: $\int\limits_{a}^{+\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}$ với $\alpha >0$

Nếu $\alpha =1$ thì tích phân phân kỳ.

Nếu $\alpha > 1$ thì tích phân hội tụ.

Nếu $\alpha <1$ thì tích phân phân kỳ.

I.5 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp $f(x)\geq 0$

I.5.1 Định lý 1:

Cho hàm số $f(x)\geq 0$ và khả tích trên $[a;A]$ với mọi $A>a$ . Để tích phân $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ hội tụ thì điều kiện cần và đủ là tồn tại $L\in R$ sao cho $\Phi (A)\leq L$ với mọi $A\quad \left(\Phi (A)=\int\limits_{a}^{A}f(x)dx\right)$ .

I.5.2 Định lý 2 (định lý so sánh 1):

Cho các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ khả tích trên $[a;A]$ với mọi $A>a$ và $0\leq f(x)\leq g(x)$ với mọi $x\geq b>a$ . Khi đó:

Nếu $\int\limits_{a}^{+\infty}g(x)dx$ hội tụ thì $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ hội tụ.

Nếu $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ phân kỳ thì $\int\limits_{a}^{+\infty}g(x)dx$ phân kỳ.

I.5.3 Định lý 3 (định lý so sánh 2):

Cho hàm số $f(x), g(x)$ không âm và khả tích trên $[a;A]$ với mọi $A>a$ . Khi đó:

Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l$ với $l\in R_{+}^{*}$ thì các tích phân suy rộng $\int\limits_{a}^{+\infty}g(x)dx$ và $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ và $\int\limits_{a}^{+\infty}g(x)dx$ hội tụ thì $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ hội tụ.

Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$ và $\int\limits_{a}^{+\infty}g(x)dx$ phân kỳ thì $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ phân kỳ.

Hệ quả 1:

Giả sử với $x$ đủ lớn hàm số $f(x)$ có dạng:

$f(x)=\frac{h(x)}{x^{k}}$ với $k> 0,\quad h(x)\geq 0$ . Khi đó:

Nếu $k>1$ và $0\leq h(x)\leq c<+\infty$ thì $\in\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ hội tụ.

Nếu $k\leq 1$ và $h(x)\geq c>0$ thì $\in\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ phân kỳ.

trong đó $c$ là hằng số.

Hệ quả 2:

Nếu $f(x)\geq 0$ và là VCB cấp $k$ so với VCB cấp $\frac{1}{x}$ tại $+\infty$ thì $\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx$ hội tụ khi $k>1$ và phân kỳ khi $k\leq 1$ .

(Còn tiếp)

Gõ công thức mỏi quá mong mọi người thông cảm chờ tiếp nhé!