Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

**NguoiDien** · 08-30-2009, 07:44 AM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

1.Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình : $2x^{2}+4x-4=\sqrt{x^2+2x-3}\qquad (1)$

Giải:

Đặt $t=\sqrt{x^2+2x-3}$ ta có:

$(1)\Leftrightarrow 2t^2+2=t$ với điều kiện $t\geq 0$

Tìm $t$ sau đó suy ra $x$ (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)

2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:

Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng:

$\sqrt{ax+b}+\limits_{-}\sqrt{cx+d}=m$

Ví dụ: Giải phương trình : $\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+1}=4$

Đặt:

$\left{ a=\sqrt{x+3} \\ b=\sqrt{2x+1}$ với điều kiện $a,b\geq 0$

Khi đó ta có hệ:

$\left{ a+b=4 \\ 2a^2-b^2=5$

Giải hệ tìm $a;b$ suy ra $x$ .

3.Phương pháp bất đẳng thức:

Ví dụ: Giải phương trình: $4\sqrt{\frac{x^2}{3}+4}=1+\frac{3x}{2}+\sqrt{6x}$

Giải:

Theo BĐT Côsi ta có:

$\sqrt{6x}\leq \frac{6+x}{2}$

Do đó:

$4\sqrt{\frac{x^2}{3}+4}\leq 2x+4\Leftrightarrow \frac{(x-6)^2}{3}\leq 0\Rightarrow x=6$

4.Phương pháp lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình:

$\sqrt{(x-1)^3}=2\sqrt{1-x^2}$

Giải:

Điều kiện: $|x|\leq 1$ .

Đặt:

$x=cos\alpha$

và biến đổi đơn giản ta có:

$(\sqrt{2}-1)(1+sin\frac{\alpha}{2})=0$

suy ra $\alpha$ và từ đó tìm được $x$

5.Phương pháp nhân liên hợp:

Ví dụ: Giải phương trình:

$16x^3-1=\sqrt[4]{x-\frac{1}{2}}$

Giải:

Phương trình tương đương với:

$16\left( x^3-\frac{1}{8}\right) =\sqrt[4]{x-\frac{1}{2}}-1$

$\Leftrightarrow 16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left( x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(\sqrt[4]{x-\frac{1}{2}}+1\right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{2}}+1\right) =x-\frac{1}{2}=$

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

View more random threads:

.

**liti** · 05-10-2010, 04:57 AM

B. Nội dung phương pháp

I. Phương pháp lượng giác hoá

1. Nếu $|x| \leq a$ th“ ta có thể đặt $x = asint, \in (-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})$ hoặc $x = acost , t \in (0 ; \pi)$

Ví dụ 1 : $\sqrt{1 +\sqrt{1 - x^2} } = x(1 + 2\sqrt{1 - x^2})$

Lời giải : ĐK : $|x| \leq 1$ Đặt $x = sint , t \in (-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi}{2})$ Phương tr“nh đã cho trở thành :

$\sqrt{1 + cost } = sint (1 + 2cost)$

$\Leftrightarrow \large \sqrt{2} cos (\frac{t}{2}) = sint + sin2t = 2sin(\frac{3t}{2})cos(\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow cos(\large \frac{t}{2}$ )( $\sqrt{2}sin (\frac{3t}{2}) - 1$ ) = 0

$\Leftrightarrow \large\left\[{cos(\frac{t}{2}) = 0 \\ {sin(\frac{3t}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \large\left\[{t = (2k+1)\pi \\ {t = \frac{\pi }{6} + k\frac{4\pi }{3}$
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : $t = \frac{\pi }{6}$

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : $x = sin (\frac{\pi }{6}) = \frac{1}{2}$

Ví dụ 2 : $\sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}}[\sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3}] = \frac{2}{\sqrt{3} } + \sqrt{\frac{1 - x^2}{3} }$

Lời giải : ĐK : $|x| \leq 1$

Khi đó VP > 0 .

Nếu $x \in [-1 ; 0] : \sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3} \leq 0$

Nếu $x \in [0 ; 1]$ .

Đặt $x = cost$ , với $t \in [0 ; \frac{\pi}{2}]$ ta có :
$2\sqrt{6}(sin(\frac{t}{2}) + cos(\frac{t}{2}))(cos^3(\frac{t}{2}) - sin^3(\frac{t}{2})) = 2 + sint$

$\Leftrightarrow \large 2\sqrt{6}cost(1 + \frac{1}{2}sint) = 2 + sint$
$\Leftrightarrow ( \large \sqrt{6}cost - 1$ ) ( $2 + sin t$ ) = 0
$\Leftrightarrow \large cost = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Vậy nghiệm của phương tr“nh là $x = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Ví dụ 3 : $\sqrt{1 - 2x} + \sqrt{1 + 2x} = \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 2x} } + \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} }$

Lời giải : ĐK : $|x| \leq \frac{1}{2}$

Đặt $2x = cost , t \in (0 ; \pi)$

phương tr“nh đã cho trở thành :

$(sin(\frac{t}{2}) + cos(\frac{t}{2}))\sqrt{2} = tan(\frac{t}{2}) + cotan (\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow \large 2(1 + sint) = \frac{4}{sin^2t}$
$\Leftrightarrow \large sin^3t + sin^2t - 2 = 0$
$\Leftrightarrow \large cost = 0$

Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất $x = 0$

Ví dụ 4 (TC THTT): $x^3 - 3x = \sqrt{x + 2} (1)$

HD :

Nếu $x < - 2$ : phương tr“nh không xác định .

Chú ý với $x > 2$ ta có :

$x^3 - 3x = x + x(x^2 - 4) > x > \sqrt{x + 2}$

vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với $x \in [-2 ; 2]$

Đặt $x = 2cost , t \in (0 ; \pi)$

khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : $cos3t = cos(\frac{t}{2})$

sưu tầm từ mathscope
.

**liti** · 05-10-2010, 04:58 AM

2. Nếu $|x| \geq a$ th“ ta có thể đặt :
$+ \large x = \frac{a}{sint} , t \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}) , t \neq 0$
$+ \large x = \frac{a}{cost} , t \in (0 ; \pi) , t \neq \frac{\pi }{2}$
Ví dụ 5 : $x^2(1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} } = 1$
Lời giải : ĐK : $|x| > 1$
Đặt $x = \frac{1}{sint} , t \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
Phương tr“nh đã cho trở thành :
$\frac{1}{sin^2t}(1 + cotant) = 1$
$\Leftrightarrow \large - cos^2t = cotant$
$\Leftrightarrow \large cost(cost + \frac{1}{sint}) = 0$
$\Leftrightarrow \large\left\[{cost = 0 \\ {sin2t = -1/2}$
$\Leftrightarrow \large t = -\frac{\pi }{12} + k\pi$
kết hợp với điều kiện của t suy ra $t = -\frac{\pi }{12}$
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : $x = \frac{1}{sin(-\frac{\pi }{12})} = -\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$
TQ : $x^2(a + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} }) = a$
Ví dụ 6 : $x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 9} } = 2$
Lời giải : ĐK : $|x| > 3$
Đặt $x = \frac{3}{cost} , t \in (0 ; \pi) , t \neq \frac{\pi }{2}$
phương tr“nh đã cho trở thành :
$\frac{1}{cost} + \frac{1}{sint} = 2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \large 1 + sin2t = 2sin^22t$
$\Leftrightarrow \large sin2t = 1$
$\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{4}$
$\Leftrightarrow \large x = \frac{3}{cos(\frac{\pi }{4})} = 3\sqrt{2}$ (thỏa mãn)
TQ : $x + \frac{ax}{\sqrt{x^2 - a^2} } = b$
với a,b là các hằng số cho trước .

**liti** · 05-10-2010, 04:59 AM

3. Đặt $x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})$ để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : $x^3 - 3\sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3} = 0$ (1)

Lời giải :

Do $x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3} }$ không là nghiệm của phương tr“nh nên :
(1) $\Leftrightarrow \large \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \sqrt{3}$ (2)

Đặt $x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})$ .

Khi đó (2) trở thành :

$tg3t = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}$
Suy ra (1) có 3 nghiệm :

$x = tan(\frac{\pi }{9}) ; x = tan(\frac{2\pi }{9}); x = tan(\frac{7\pi }{9})$
Ví dụ 8 : $\sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2 + 1}{2x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{2x(1 - x^2)}$
Lời giải : ĐK : $x \neq 0 ; x \neq \pm 1$

Đặt $x = tgt , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) , t \neq {0 ; \pm \frac{\pi }{4})$
phương tr“nh đã cho trở thành :

$\frac{1}{cost} + \frac{1}{sin2t} = \frac{2}{sin4t}$

$\Leftrightarrow \large \frac{1}{cost}(1 + \frac{1}{2sint} - \frac{1}{2sint.cos2t}) = 0$

$\Leftrightarrow \large 2sint.cos2t + cos2t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \large 2sint(1 - 2sin^2t) - 2sin^2t = 0$

$\Leftrightarrow \large sint(1 - sint - 2sin^2t) = 0\Leftrightarrow \large\left\[{sint = 0\\{sint = -1}\\{sint = 1/2}$

$\Leftrightarrow \large\left\[{t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi\\{t = \frac{\pi }{6} + k2\pi$

Kết hợp với điều kiện suy ra : $t = \frac{\pi }{6}$

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

$x = \frac{1}{\sqrt{3} }$

sưu tầm .

**liti** · 05-10-2010, 05:01 AM

4. Mặc định điều kiện : $|x| \leq a$ . sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Ví dụ 9 : $\sqrt[3]{6x + 1} = 2x$
Lời giải :
phương tr“nh đã cho tương đương với :
$8x^3 - 6x = 1$ (1)
Đặt $x = cost , t \in [0 ; \pi]$ :
(1) trở thành :
$cos3t = \frac{1}{2}$
:Leftrightarrow $t = \pm \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3} (k \in Z)$
Suy ra (1) có tập nghiệm :
$S = [cos(\frac{\pi }{9}); cos(\frac{5\pi }{9}) ; cos(\frac{7\pi }{9})]$
Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S

sưu tầm từ mathscope.org .

**liti** · 05-10-2010, 05:02 AM

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
$\sqrt{f(x)}.Q(x) = f(x) + P(x).x$
khi đó :
Đặt $\sqrt{f(x)} = t , t > 0$ . Phương trình viết thành :
$t^2 - t.Q(x) + P(x) = 0$
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh $\sqrt{f(x)} = t$ sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : $2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^2 + 16}$ (1)
lời giải : ĐK : $|x| \leq 2$
Đặt $t = \sqrt{2(4 - x^2)}$
Lúc đó :
(1) $\Leftrightarrow \large 4(2x + 4) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} + 16(2 - x) = 9x^2 + 16$
$\Leftrightarrow \large 8(4 - x^2) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} = x^2 + 8x$ Phương tr“nh trở thành :
$4t^2 + 16t - x^2 - 8x = 0$
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :
$t_1 = \frac{x}{2} ; t_2 = - \frac{x}{2} - 4$
Do $|x| \leq 2$ nên $t_2 < 0$ không thỏa điều kiện $t \geq 0$ .
Với $t = \frac{x}{2}$ th“ :
$\sqrt{2(4 - x^2)} = \frac{x}{2}$
$\Leftrightarrow \large\left\[{x \geq 0\\{8(4 - x^2) = x^2}$
$\Leftrightarrow \large x = \frac{4\sqrt{2} }{3}$ ( thỏa mãn điều kiên $|x| \leq 2)$
Ví dụ 11 : $x^2 + x + 12\sqrt{x + 1} = 36$
Lời giải : ĐK : $x \geq - 1$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \geq 0$ .
phương trình đã cho trở thành :
$x.t^2 + 12u - 36 = 0$
$\Leftrightarrow \large t = \frac{-6 \pm 6t }{x}$
* Với $t = \frac{-6 - 6t }{x}$ , ta có :
$(x + 6)t = - 6$ (vô nghiệm v“ : $VT \geq 0 ; VP < 0$ )
* Với $t = \frac{-6 + 6t }{x}$ , ta có :
$6 = (6 - x)t$
Do $x = 6$ không là nghiệm của phương tr“nh nên :
$t = \frac{6}{6 - x}$
$\Leftrightarrow \large \sqrt{x + 1} = \frac{6}{6 - x}$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : $x = 3$ (thỏa mãn)
TQ : $x^2 + ax + 2b\sqrt{x + a} = b^2$ .

**khanhsy** · 05-10-2010, 11:45 AM

Nguyên văn bởi ZzkutezZ

cau noi Bình tĩnh - Tự tin - Không cay cú. Đó là bài học đầu tiên trước khi bước vào kì thi cam go rất hay

Bình tĩnh - Tự tin - Đừng cay cú
Âm thầm chịu đựng trả thù sau :byebye:

(p/s Spam chém gió quá đí và còn một phần của pt rất quan trọng)

$\left{\sqrt{ax+b}=m(cx+d)^2+ex+f\\am+e=c\\bm+f=d$

lúc đó chúng ta đặt

$cy+d=\sqrt{ax+b}$

và đưa về hệ đối xứng loại hai .

**liti** · 05-10-2010, 12:42 PM

Ví dụ 12 : $3(\sqrt{2x^2 + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt{2x^2 + 1})$
Lời giải :
Đặt $\sqrt{2x^2 + 1} = t \geq 1$ .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
$3(t - 1) = x + 3(t^2 - 1) - 3x^2 + 8xt \Leftrightarrow \large 3t^2 - (8x - 3)t - 3x^2 + x = 0$
Từ đó ta tìm được $t = \frac{x}{3}$ hoặc $t = 1 - 3x$
Giải ra được : $x = 0$ .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 13 : $2008x^2 - 4x + 3 = 2007x\sqrt{4x - 3}$
Lời giải : ĐK : $x \geq \frac{3}{4}$
Đặt $\sqrt{4x - 3} = t \geq 0$ .
phương trình đã cho trở thành :
$2008x^2 - 2007xt - t^2 = 0$
Giải ra : $x = t$ hoặc $x = - \frac{t}{2008}$ (loại)
* $x = t$ ta có :
$x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \large\left\[{x = 1\\{x = 3}$
Vậy $x = 1 , x = 3$ là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
ví dụ 14 : $(4x - 1)\sqrt{x^3 + 1} = 2x^3 + 2x + 1$

Lời giải : ĐK : $x \geq -1$

Đặt $t = \sqrt{x^3 + 1}$

Phương tr“nh đã cho trở thành :

$2(t^2 - 1) + 2x + 1 = (4x - 1)t \Leftrightarrow \large 2t^2 - (4x - 1)t + 2x - 1 = 0$

Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!!

sưu tầm .

**liti** · 05-10-2010, 12:44 PM

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : $x^2 + \sqrt{x + \frac{3}{2} } = \frac{9}{4}$ (1)
Lời giải : ĐK : $x \geq - \frac{3}{2}$ .
Đặt $\sqrt{x + \frac{3}{2} } = t , t \geq 0$ .
phương tr“nh (1) trở thành :
$(t^2 - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} - t$
$\Leftrightarrow \large t(t^3 - 3t + 1) = 0$
$\Leftrightarrow \large\left\[{t = 0 \\ {t^3 - 3t + 1 = 0 (2)}$
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt $x = 2cost , t \in (0 ; \pi)$ để đưa về dạng : $cos3t = - \frac{1}{2}$
TQ : $x^2 + \sqrt{x + a} = a^2$
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : $x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} = 0$ (1)
Lời giải : ĐK : $x \geq - 2$
Viết lại (1) dưới dạng :
$x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0$ (2)
Đặt $t = \sqrt{x + 2} \geq 0$ .
Khi đó (2) trở thành :
$x^3 - 3xt^2 + 2y^3$
$\Leftrightarrow \large (x - t)^2(x + 2t) = 0$
Do vậy $x = t$ hoặc $x = -2t$
* $x = t$ . Ta có :
$x = \sqrt{x + 2}$
$\Leftrightarrow \large\left\{{x \geq 0 \\ {x^2 - x - 2 = 0}$
$\Leftrightarrow \large x = 2$
* $x = -2t$ . Ta có :
$x = - \sqrt{x + 2}$
$\Leftrightarrow \large\left\{{x \leq 0 \\ {x^2 - 4x - 8 = 0}$
$\Leftrightarrow \large x = 2 - 2\sqrt{3}$
Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : $x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}$
Ví dụ 17 : $x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0$
Lời giải : ĐK : $x \in [1 ; 6]$ (1)
Đặt $t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0$ (2) .
phương tr“nh đã cho trở thành :
$t^2 + \sqrt{5 + t} = 5$ (3)
$\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0$
$\Leftrightarrow \large (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0$
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
$x = \frac{11 - \sqrt{17} }{2}$
Ví dụ 18 : $x = (2006 + \sqrt{x})(1 - \sqrt{1 - \sqrt{x} })^2$
Lời giải : ĐK : $x \in [0 ; 1]$ (1)
Đặt $t = \sqrt{1 - \sqrt{x} }$
$\Rightarrow \large 0 \leq t \leq 1$
Khi đó : $\sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2$ .
phương tr“nh đã cho trở thành :
$(1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2$
$\Leftrightarrow \large (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2$
$\Leftrightarrow \large 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)$
V“ $0 \leq t \leq 1$ nên :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương tr“nh tương đương với :
$t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \large t = 1$
Do vậy $x = 0$ (thỏa (1)) .

**liti** · 05-10-2010, 12:45 PM

2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 9 : $\sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3$
Lời giải :
Đặt $a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}$
$\Rightarrow \large a^2 - b^2 = 9x - 3$
$\Rightarrow \large a - b = a^2 - b^2$
$\Leftrightarrow \large (a - b)(a + b - 1) = 0$
* $a - b = 0$
$\Rightarrow \large x = \frac{1}{3}$
* $a + b - 1 = 0$
$\Rightarrow \large\left\{{a - b = 9x - 3\\{2a = 9x - 2}$
$\Rightarrow \large\left\[{x = 0\\{x = \frac{56}{65}}$
Ví dụ 20 : $2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8}$ (1)
Lời giải : ĐK : $- 2 \leq x \leq 1$ hoặc $x \geq 2$ (*)
Đặt $u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2}$ ta có :
$u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .$
(1) trở thành :
$2(u^2 - v^2) = 3uv$
$\Leftrightarrow \large (2u + v)(u - 2v) = 0$
$\Leftrightarrow \large u = 2v$ (Do $2u + v > 0$ )
T“m x ta giải :
$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2}$
$\Leftrightarrow \large x^2 - 6x - 4 = 0$
$\Leftrightarrow \large x = 3 \pm \sqrt{13}$ (Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm :
$x = 3 \pm \sqrt{13}$
Ví dụ 21 : $\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}$
Lời giải : ĐK : $x \geq 5$
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
$(x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$
$\Leftrightarrow \large 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0$ (2)
Đặt $u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$
Th“ :
(2) $\Leftrightarrow \large 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0$
$\Leftrightarrow \large (u - v)(2u - 3v) = 0$
* $u = v$ ta có : $x^2 - 5x - 9 = 0$
* $2u = 3v$ ta có : $4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
$x = \frac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$
Ví dụ 22 : $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}<br />$
lời giải : ĐK : $0 \leq x \leq 1$
Đặt :
$\left\{{u = \sqrt[4]{x} \\ {v = \sqrt[4]{1 - x}}\Rightarrow \large\left\{{u \geq 0}\\{v \geq 0}\\{u^4 + v^4 = 1}$
Từ phương tr“nh ta được :
$u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v \Leftrightarrow \large (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0\Leftrightarrow \large (u - v)(1 - u - v) = 0$ ( Do $u + v > 0$ )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
$x = 0 , x = \frac{1}{2} , x = 1$

sưu tầm từ mathscope.org .

Ðề tài: Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ðiều Chỉnh

Display

View more random threads:

The Following 14 Users Say Thank You to NguoiDien For This Useful Post:

Phương pháp lượng giác hoá

The Following 11 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 8 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 7 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 7 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 7 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 4 Users Say Thank You to khanhsy For This Useful Post:

The Following 6 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 3 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

The Following 4 Users Say Thank You to liti For This Useful Post:

Tags for this Thread

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn