Ph­ư¬ng ph¸p gi¶i h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian

H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian lu«n cã trong c¸c ®Ò thi vµo ®¹i häc, tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng, bµi viÕt nµy lµ tæng hîp c¸c d¹ng cña ®Ò thi. Mong bµi viÕt nµy cã thÓ gióp cho c¸c b¹n cã thÓ häc tèt vµ lµm bµi h×nh häc gi¶i tÝch ®­îc tèt h¬n trong c¸c k× thi.

A,Lý thuyÕt:
Quy t¾c h×nh hép : ABCDA’B’C’D’ lµ h×nh hép th× :
3 vect¬ ®ång ph¼ng: ®ång ph¼ng khi :
 HoÆc sao cho
HoÆc
TÝch v« h­íng cña 2 vect¬: cho

Ta cã :
TÝnh chÊt:
+, cïng ph­¬ng
+, vµ
+,
+,
HÖ qu¶:
 +,
+, (diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh)
 +, (thÓ tÝch h×nh hép)
 +, (thÓ tÝch tø diÖn)
 +, ®ång ph¼ng
kh«ng ®ång ph¼ng
+, Gãc cña 2 mÆt ph¼ng : lµ:
B, Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
I,MÆt ph¼ng:
PTTQ(ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t) mÆt ph¼ng(mp) qua vµ cã VTPT(vect¬ ph¸p tuyÕn) lµ:

hay : víi

PTMP(ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng) qua cã ph­¬ng tr×nh(pt) lµ:

KÕt qu¶:
 +,
+,
+,
+,PTMT to¹ ®é oxy: z=0
 +,PTMT to¹ ®é oxz: y=0
 +,PTMT to¹ ®é oyz: x=0

 VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mÆt th¼ng vµ mÆt ph¼ng:


 Cho





Ph­¬ng tr×nh chïm mÆt ph¼ng:
TËp hîp c¸c mÆt ph¼ng chøa ®­êng th¼ng ®­îc gäi lµ chïm mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi mp vµ mp . NÕu vµ th× ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng lµ:
 (*) víi
ph­¬ng tr×nh (*) cã thÓ viÕt l¹i:

C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PTMP(ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng):
  1. PTMP qua vµ cã VTPT

+,X¸c ®Þnh cña mp
 +,X¸c ®Þnh VTPT
+,¸p dông c«ng thøc :
  1. PTMP qua vµ cã cÆp VTCP(vect¬ chØ ph­¬ng)

(víi cã gi¸ song song hoÆc n»m trªn mp )
+,T×m VTPT
+, lµ mp qua vµ cã VTPT
  1. PTMP qua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng A,B,C

+,T×m
+,T×m VTPT
+, lµ mp qua A vµ cã VTPT

  1. PTMP qua vµ vu«ng gãc víi 2 mp vµ c¾t nhau

+,T×m VTPT cña vµ lµ vµ
+,T×m VTPT cña
+, lµ mp qua vµ cã VTPT
  1. PTMP qua vµ qua giao tuyÕn 2mp c¾t nhau lµ vµ

+, cã d¹ng : (*) víi
+, qua thÕ vµo ph­¬ng tr×nh (*)
 +,Rót ra m theo n chän m,n råi thÕ vµo ph­ong tr×nh (*)
  1. PTMP qua vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d)

+,T×m VTCP cña (d)
 +, lµ mp qua vµ cã VTPT =
  1. PTMP qua vµ chøa ®­êng th¼ng (d)

TH1: (d) cã d¹ng tæng qu¸t
 +, T×m PTMP ta dïng c«ng thøc chïm mp.
 TH2: (d) cã d¹ng chÝnh t¾c
 C¸ch 1:
+, ChuyÓn ph­¬ng tr×nh (d) vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh t«ng qu¸t
 +,Dïng c«ng thøc chïm mp
 C¸ch 2:
+,T×m vµ cã VTCP cña (d)
 +,T×m

+, lµ mp qua vµ cã VTPT
  1. PTMP chøa ®­êng th¼ng vµ //

+,T×m vµ cã VTCP cña
+,T×m VTCP cña
+,T×m
+, lµ mp qua A vµ cã VTPT

II,§­êng th¼ng:
 PTTQ(ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t):
VTCP(vect¬ chØ ph­¬ng):
§Æc biÖt:
 +,ph­¬ng tr×nh trôc ox:
+,ph­¬ng tr×nh trôc oy:
+,ph­¬ng tr×nh trôc oz:
PTTS(ph­¬ng tr×nh tham sè): (d) qua vµ cã VTCP :
 (d) :
PTCT(ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c): (d) :


VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ ®­êng ph¼ng:

 Cho qua vµ cã VTCP
qua vµ cã VTCP
chÐo nhau kh«ng ®ång ph¼ng
®ång ph¼ng ®ång ph¼ng
®ång ph¼ng
c¾t nhau
kh«ng cïng ph­¬ng


cïng ph­¬ng
song song







cïng ph­¬ng
 trïng nhau









Cã víi


C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PT§T(ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng)
TH1:§­êng th¼ng (d) ®­îc x¸c ®Þnh bëi 1 ®iÓm vµ 1 VTCP
1. PT§T (d) qua vµ cã VTCP
+,Dïng PTTS hay PTCT
  1. PT§T (d) qua vµ (d) song sonh víi 1 ®­êng th¼ng cho tr­íc

+,T×m VTCP cña (d)
 +,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP
  1. PT§T (d) qua vµ (d) song sonh víi 2 mp c¾t nhau

+,T×m VTPT cña mp :
T×m VTPT cña mp :
+,T×m
+,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP
  1. PT§T (d) qua vµ

+T×m VTPT cña mp lµ
+,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP =
  1. PT§T (d) qua vµ (d) vu«ng gãc víi 2 ®­êng th¼ng vµ

+,T×m VTCP cñalµ
 +,T×m VTCP cñalµ
Gäi
+,(d) lµ ®­êng th¼ng quavµ cã VTCP
  1. PT§T (d) qua , vµ (d) c¾t

+,LËp PTMP qua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cña vµ
 +,(d) lµ ®­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm vµ N
  1. PT§T (d) qua vµ (d) c¾t 2 ®­êng th¼ng , cho tr­íc

C¸ch 1:
 +, LËp PTMP qua vµ
 +,T×m giao ®iÓm N cña vµ
 +,(d) lµ ®­êng th¼ng qua ,N
 +,Chøng tá (d) c¾t
C¸ch 2:

 +, LËp PTMP qua vµ
 +, LËp PTMP qua vµ
 +,(d) lµ giao tuyÕn cña vµ
+,Chøng tá (d) c¾t ,
  1. PT§T (d) qua , vµ (d) c¾t

+,LËp PTMP qua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cña vµ
 +, (d) lµ ®­êng th¼ng qua M,N
TH2: (d) x¸c ®Þnh lµ giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng:
  1. Ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau vµ

+,Trong kh«ng gian cho 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau:
 qua vµ cã VTCP
qua vµ cã VTCP
gäi
+,Gäi lµ mp qua vµ cã VTPT
+,Gäi lµ mp qua vµ cã VTPT
+,§­êng vu«ng gãc chung cña vµ lµ giao tuyÕn cña vµ
  1. (d) qua giao ®iÓm M cña mp vµ ®­êng th¼ngvµ

C¸ch 1:
 +,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña vµ
+,LËp ph­¬ng tr×nh mp qua ®iÓm M vµ
+,(d) lµ giao tuyÕn cña 2 mp vµ
C¸ch 2:
 +,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña vµ
+,T×m VTCP cña
T×m VTPT cña
T×m
+, (d) lµ ®­êng th¼ng qua M vµ cã VTCP
  1. vµ c¾t vµ

+, LËp mp chøa vµ
+,LËp mp chøa vµ
+, (d) lµ giao tuyÕn cña vµ
+,Ch­óng tá c¾t vµ
  1. Ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mp

+,T×m vµ cã VTCP cña(d)
 +,T×m VTPT cña
+,T×m
+,Gäi lµ mp chøa (d) vµ
qua A vµ co VTPT . ViÕt PTMP
+,H×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mp lµ giao tuyÕn cña vµ .PT§T (d’) lµ:


 VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:

 Cho (d) : qua vµ cã VTCP vµ mÆt ph¼ng cã VTPT
c¾t




cïng ph­¬ng

víi vµ


Kho¶ng c¸ch :

Kho¶ng c¸ch tõ mÆt ph¼ng


Kho¶ng c¸ch tõ ®Õn (d) : qua vµ cã VTCP


Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau:
 Trong kh«ng gian cho 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau:
 qua vµ cã VTCP
qua vµ cã VTCP

Chó ý: cã thÓ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a vµ b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa vµ // . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ




MÆt cÇu:

Ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I(a,b,c) b¸n kÝnh R:

Hay:
®iÒu kiÖn:


Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn:

B¸n kÝnh

Víi R: b¸n kÝnh mÆt cÇu (S)
 d: kho¶ng c¸ch tõ t©m I

§iÒu kiÖn tiÕp xóc cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu (S) lµ:


Chó ý: Trong ®Ò thi cã nhiÒu bµi lµ h×nh häc kh«ng gian, nh­ng b»ng sù khÐo lÐo c¸ch chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz ta sÏ ®­a bµi to¸n vÒ h×nh häc gi¶i tÝch.

Mét vµi VD vÒ c¸ch chän hÖ trôc to¹ ®é:

VD1: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S, cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a.
Gäi K lµ trung ®iÓm BC. Nªn ta chän hÖ trôc §Òc¸c vu«ng gãc Oyxz sao cho:
 Víi h lµ ®é dµi ®­êng cao SH cña h×nh chãp S.ABC

VD2: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a.
Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oyxz sao cho:

 VD3: Nguồn: http://diendankienthuc.net.