Chuyên đề hình học không gian

**i love all** · 01-11-2011, 10:27 PM

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

1.Tọa độ của vectơ và của điểm:
2.Tích có hướng của hai vectơ.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0),B(0;0;1), C(2;1;1).
a.Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b.Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.ĐS: CV=
c.Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành.ĐS: D(1;1;2).
d.Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.ĐS: AH=
e.Tính các góc của tam giác.ĐS: cosA=0; cosB= ; cosC= .
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1),D(-2;1;-1).
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.ĐS: .
b.Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.ĐS: cos(AB;CD)= .
c.Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
ĐS: V=1/2; AH= 1.
Bài 3: Cho tam giác ABC biết A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Hãy tìm độ dài đường phân giác trong của góc B.ĐS: B’(0;0;3).
Bài 4: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A(1;-1;5), B(3;4;4), C(4;6;1). ĐS: M(16;-5;0).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D nằm trên trục tung Oy. Biết VABCD= 5. Tìm tọa độ đỉnh D.ĐS: V= |-4yD+2|; D(0;-7;0), D(0;8;0).

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.

1.Định nghĩa vectơ pháp tuyến và cặp VTCP của mp.
a. Vectơ gọi là VTPT của mp (P) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với (P).
b.Cặp vectơ và ( không cùng phương) đgl cặp VTCP của mp(P) nếu chúng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc thuộc (P).
c.Nếu , là cặp VTCP của (P) thì một VTPT của (P) cho bởi công thức: = .
*Chú ý: Mỗi mp có nhiều cặp VTCP( hay có nhiều VTPT).
2.Phương trình tổng quát của mp:
+(P): Ax+ By+ Cz +D =0 có một VTPT: = (A; B;C) ( Với A2+B2+C2 >0).
+Phương trình (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTPT: = (A; B;C) là:
A(x- x0) +B( y – y0) +C(z-z0) =0.
+Phương trình mp theo đoạn chắn A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) là:
( Với a,b,c khác 0).
*Chú ý: (Oxy): z=0; (Oxz): y=0; (Oyz): x=0.
3. Chùm mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax+ By+ Cz +D =0 và
(P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0. Phương trình chùm mp qua giao tuyến của hai mp(P) và (P’) có dạng:m( Ax+ By+ Cz +D)+n( Ax+ By+ Cz +D ) =0 vơi m và n không đồng thời bằng 0).
4.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho (P): Ax+ By+ Cz +D =0 và (P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0.
Có ba vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
+(P) cắt (P’) .
+(P) // (P’) .
+(P) (P) .
4. Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho (P): Ax+ By+ Cz +D =0 có = (A; B;C)và
(P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0 có ’= (A’; B’;C’).
Số đo góc nhọn ( 00 900) của hai mp(P) và (P’) cho bởi công thức:
.
*Chú ý: (P) (P’) khi cos =0 hay AA’ +BB’+CC’=0.
5.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) và (P): Ax+ By+ Cz +D =0 cho bởi công thức :
d(M0;(P))= .

Bài tập 1: Lập phương trình tổng quát của mp:

Đi qua hai điểm E(4;-1;1), F(3;1;-1) và song song với trục Ox.

ĐS: y +z=0.

Đi qua A(1;2;3) và song song (P):x-4y +z +12=0 ĐS:x-4y+z+4 =0.
Đi qua ba điểm A(1;-1;2),B(0;3;0),C(2;1;0). ĐS: 2x+2y+3z -6=0.
Đi qua điểm I(2;6;-3) và song song với các mp tọa độ.

ĐS:z +3=0; x-2=0; y-6=0.

Chứa trục Ox và điểm P(4;-1;2) ĐS: 2y+z=0.
Chứa trục Oy và điểm Q(1;4;-3) ĐS: 3x+z =0.
Chứa trục Oz và điểm R(3;-4;7) ĐS: 4x+3y =0.

Bài tập 2: Lập phương trình tổng quát của mp:

mp đi qua điểm A( 2;1;-1) và vuông góc với đường thẳng xác định bởi hai điểm

B(-1;0;4),C(0;-2;-1). ĐS: x-2y-5z-5=0.

Mp trung trực của đoạn AB với A(1;3;-4) và B(-1;2;2).

ĐS:4x+2y-12z-17=0.

mp nhận điểm M(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ ở trên mp đó. ĐS: 2x –y -2z -9 =0.
Đi qua hai điểm A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với

mp(P):x+y+2z-3=0. ĐS: 11x-7y-2z -21 =0.

Đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuông góc với hai mp:

(P):3x -2y +2z +7 =0; (Q): 5x -4y +3z +1 =0. ĐS: 2x+y-2z -15 =0.
Bài tập 3:Lập phương trình mp trong các trường hợp sau:

Đi qua giao tuyến của hai mp (P): x+y +5z -1=0; (Q): 2x+3y-z+2=0 và đi qua điểm M(3;2;1) ĐS: 5x+14y – 74z +31 =0 ( 9m +13n =0).
Đi qua giao tuyến của hai mp (P): x+3y +5z -4=0; (Q): x-y-2z+7=0 và song song với trục Oy ĐS: 4x- z +17 =0 (3m –n =0).
Đi qua giao tuyến của hai mp (P): 2x-y +z +1=0; (Q): x+3y-z+2=0 và vuông góc với (R): -2x+2y+3z+3 =0. ĐS: 5x+8y- 2z+ 7=0( -3m+n=0).

Bài 3: ĐƯỜNG THẲNG.

1.Các loại phương trình đường thẳng:
a. Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua M(x0; y0;z0) và nhận
= ( a;b;c) làm VTCP có pt: ( t: tham số).
b. Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua M(x0; y0;z0) và nhận
= ( a;b;c) làm VTCP có pt: ( a2+b2+c2 >0).

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng D với D = là:

D: .
2.Tìm phương trình đường thẳng:
*Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
*Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
*Chú ý: Trong cách 2, thực chất của viẹc tìm tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Thông thường ta có 3 giả thiết sau:
+Đường thẳng D đi qua điểm A và cắt đường thẳng . Khi đó đường thẳng D nằm trong mp đi qua A và chứa .
+ Đường thẳng D đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng . Khi đó đường thẳng D nằm trong mp đi qua A và vuông góc với .
+ Đường thẳng D song song với D1 và cắt đường thẳng . Khi đó đường thẳng D nằm trong mp song song với D1 và chứa .
Chẳng hạn:
Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng ấy.
Cách giải:
-Bước 1: D đi qua A và vuông góc với nên D nằm trong mp (P) đi qua A và vuông góc với .
-Bước 2: D đi qua A và cắt nên D nằm trong mp (Q) đi qua A và chứa .
Khi đó, D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng D đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng D1 và D2.
Cách giải:
- Bước 1: D đi qua A và cắt D1 nên D nằm trong mp (P) đi qua A và chứa D1.
_ Bước 1: D đi qua A và cắt D2 nên D nằm trong mp (P) đi qua A và chứa D2.
Khi đó D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm A của đường thẳng và mp(P), vuông góc với và nằm trong (P).
Cách giải:
- Bước 1: Từ giả thiết ta có : D chứa trong (P).
-Bước 2: D qua A và vuông góc với nên D nằm trong mp(Q) đi qua A và vuông góc với .
Khi đó D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng và cắt hai đường thẳng D1 và D2.
Cách giải:
-Bước 1: D song song với và cắt D1 nên D nằm trong mp(P) chứa D1 và song song với .
-Bước 2: D song song với và cắt D2 nên D nằm trong mp(Q) chứa D2 và song song với .
Khi đó D chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài toán 5: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng .
Phương pháp:
-Bước 1: Tìm phương trình mp (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng .
-Bước 2:Giao điểm của và (P) chính là hình chiếu H của A trên .
Bài toán 6: Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (P).
-Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P).
-Bước 2: Giao điểm của và (P) chính là hình chiếu H của A trên mp(P).
Bài toán 7: Tìm hình chiếu của đường thẳng D xuống mp (P).
-Bước 1: Tìm phương trình mp(Q) chứa đường thẳng D và vuông góc với mp(P).
-Bước 2: Hình chiếu của D xuống mp(P) chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài toán 8: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng .
-Bước 1: Tìm hình chiếu H của A trên .(Bài toán 5).
-Bước 2: H là trung điểm của AA’.
Bài toán 9: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).
-Bước 1: Tìm hình chiếu H của A trên (P). ( bài toán 6).
-Bước 2: H là trung điểm của AA’.

BÀI 5: KHOẢNG CÁCH.

1.Khỏang cách từ một điểm đến một mp:
Cho điểm M(x0;y0;z0) và mp(P): Ax+By +Cz +D=0.
d(M;(P))= .
2.Khoảng cách từ một điểm đến một đt:
Cho điểm M0(x0;y0;z0) và đt(D) .
d(M0;(D))= .
3.Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau.
Cho hai đt(D): và (D’):
d(D;D’)= .
*Chú ý:
+Tính khoảng cách giữa hai đt song song:
-Tìm một điểm A trên (D).
-Khoảng cách giữa D và D’ chính là khoảng cách từ A đến đt (D’).

BÀI 6: GÓC .

1.Góc giữa hai đt:
Cho hai đt (D):
và (D’): . Cos ( ).
2.Góc giữa hai mp:
Cho hai mp(P):Ax+By+Cz+D=0 và mp(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0.
Ta có: Cos ( ).
3.Góc giữa đt và mp:
Cho đt(D)
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0. Ta có: sin ( ).
*Chú ý:+ (D) (D’) .
+(P) (Q) .
+d song song hoặc nằm trên (P) .
*Phương pháp viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
-Bước 1: Xác định VTCP và một điểm lần lượt của đt(D) và (D’).Và xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
-Bước 2: Xác định vectơ thỏa tức là .
-Bước 3: Lập phương trình mp(P) chứa đt (D) và cùng phương với .
-Bước 4: Lập phương trình mp(Q) chứa đt (D’) và cùng phương với .
-Bước 5: Giao tuyến của hai mp(P) và (Q) là phương trình đường vuông góc chung của hai đt (D) và (D’).

Bài 7: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

1. Phương trình mặt cầu:
+Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R:
(x-a)2 + (y-b)2 +( z- c)2 = R2.
+Phương trình: x2 +y2 +z2 + 2Ax+ 2By + 2Cz +D=0 là phương trình mặt cầu khi A2+ B2 +C2 – D > 0, Tâm I(-A; -B;-C ) và R= .
*Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O(0;0;0) có pt: x2 +y2 +z2 = 0.
2.Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0 và mặt cầu (S): (x-a)2 + (y-b)2 +( z- c)2 = R2.
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
+Nếu d(I;(P))= IH > R: mp (P) và (S) không có điểm chung.
+ Nếu d(I;(P))= IH = R: mp (P) và (S) có điểm chung là H ( Điểm H gọi là tiếp điểm; mp(P) gọi là tiếp diện); .
+ Nếu d(I;(P))= IH <R: mp (P) và (S) có giao là một đường tròn có tâm H; bàn kính r= ; Phương trình đường tròn: .
(*Chú ý: Tọa độ tâm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (P)).
Bài 1:Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a.(S) có tâm I(1,2,3)và bán kính R=5
b. (S) có tâm I(1,2,3) và qua điểm M(1,0,1)
Đ/S;a.
b.(x+1)2+(y-2)2+(z-3)2=12
Bài 2:Lập phương trình mặt cầu (S)
a.Có đường kính là AB Với A(6,2,-5) ;B(-4,0,7)
b.Có tâm I(3,5,-2) và tiếp xúc với mặt phẳng :2x-y-3z+11=0.
Đ/S:a.(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=62
b.(x-3)2+(y+5)2+(z+2)2=56
Bài 3:Trong mặt phẳng Oxyz cho tứ diện ABCD biết : A(1,1,1);B(1,2,1);C(1,1,2) D(2,2,1)
a.Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
b.Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó
Đ/S: a.x2+y2+z2-3x-3y-3z+6=0
Bài 4:Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2-2x-2z=0 và mặt phẳng ;4x+3y+m=0.
Biện luận theo m vị trí tương đối của (S) và
Bài 5:Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S):(x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=49 tại điểm M(7,-1,5)
Đ/S:6x+2y+3z=0
Bài 6: Viết phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S):x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 tại điểm M(4,3,0)
Đ/S:x+2y+2z=10
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
cho mặt cầu (S) có phương trình :x2+y2+z2-2x-4y-6z=0.
a.Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu trên
b.Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S)với mặt phẳng có phương trình :
x+y-z+k=0 tùy theo giá trị của k
c.Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1,1,1) và N(2,-1,5) và viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại các giao điểm đó
Đ/S:d(I; )= ; MN: ;
M1(2;-1;5) với t1=1;M2( với t2=-3/7.
+(P1): x -3y +2z -15 =0;
+(P2): 21x + 7y + 182 z + 105 =0.
Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(6,-2,3);B(0,1,6);
C(2,0,-1);D(4,1,0)
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b.Tính thể tích tứ diện ABCD
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu
d.Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A,B,C.Hãy tìm tâm và bán kính củađường tròn đó.
ĐS:
a. ; b. V= 12;c. x2 +y2 +z2 -4x+ 2y -6z -3=0.
d. I’(12/5;/-1/5;3), r = .
Bài tập 9:Cho đường thẳng D: và điểm I(2;3;-1).
a.Tìm VTCP của (D). Suy ra phương trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông gócvới D.
b.Tìm khoảng cách từ I đến (D). Suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho (D) cắt (S) tại A,B thỏa AB = 10.
Bài tập 10:Tìm tâm và bán kính của đường tròn:

Bài tập 11: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳngD: và tiếp xúc mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +2x-6y +4z -15=0.
Bài tập 12: lập phương trình mặt phẳng song song hai đường thẳng:
(D): ; (D’): và tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2 +y2 +z2 -10x+ 2y +26z -113=0.
Bài tập 13: Lập phương trình mặt cầu tâm I nằm trên đường thẳng:
a.(D): và tiếp xúc hai mặt phẳng (P): x+2y-2z-2=0; (P’):x+2y-2z-4=0
b. (D): và tiếp xúc với hai mặt phẳng(P): x+3y-2z-2=0; (P’):x+3y-2z-4=0

Câu1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,ch đương thẳng
a.Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên
b.Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng và song song với đường thẳng
c.Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M0(1,1,1)và vuông góc với
d.Tính khoảng cách giữa và
e.Viết phương trình đường vuông góc chungcủa và
Đ/S:b.4x-2y-z=10=0;c.x+2y-3=0; d. ; e.
Câu2:Cho đường thẳng .
a). Chứng minh rằng đường thẳng cắt mp( ) và hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b).Viết phương trình mp( ') đi qua điểm M0(1;2;-1) và vuông góc với .
c). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của trên mp( ).
d). Cho điểm A(1;0;1). Hãy tìm tọa độ điểm A' sao cho mp( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA'.
e). Viết phương trình mp phân giác của góc chứa điểm M1(1;2;1) tạo bởi hai mp( ) và ( ').
ĐS: b). 4x+3y +z -9=0; c). ; d). .
e). .
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a). Chứng minh rằng đường chéo A'C vuông góc với mp(AB'D').
b). Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A'C và mp(AB'D') là trọng tâm tam giác AB'D'.
c). Tìm khoảng cách giữa hai mp(AB'D') và (C'BD).
d). Tìm côsin của góc tạo bởi hai mp(DA'C) và (ABB'A').
ĐS: a). .
b).G( ;
d). cos .
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M thuộc AD'và N thuộc DB sao cho AM= DN =k ( 0 < k< ).
a). Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b). Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với mp(A'D'BC) khi k biến thiên.
c). Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD' và DB; MN song song với A'C.
ĐS: a). MN2= 3k2 - 2 . Xét hàm số với 0 < k< suy ra: .
b). ; c). là đường vuông góc chung.
+ .
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x2 +y2+z2- 2x -4y-6z =0.
a).Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.
b).Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp( ):x+y-z +k =0 theo k.
c). Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng di qua hai điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5) ; viết phương trình các mp tiếp xúc của mặt cầu (S) tại các giao điểm đó.
ĐS: a). I(1;2;3), R= ; b).
c.M1(2,-1,5) ứng với t1=1 :x-3y+2z-15=0
ứng với t2=
Câu6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,choA(6,-2,3),B(0,1,6) ;C(2,0,-1)
D(4,1,0)
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b.Tính thể tích tứ diện ABCD
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d.Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C.Hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của nó.
Đ/S: ; b.V=12
c.(S):x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0 ; I(2,-1,3);R= ( .
Bài 11: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng
lên mp(P): 3x-2y-z+15=0.
ĐS: .
Bài 12: Cho hai điểm A(-1;3;-2), B(-9;4;9) và mp(P): 2x-y +z +1=0. Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK là nhỏ nhất.
ĐS: A'(3;1;0); H(1;2;-1); K(-1;2;3).
Bài 13:Cho mặt phẳng(P) đi qua A(0,0,1);B(-1,-2,0);C(2,1,-1)
a.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)
b.Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳmg (P)
c.Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC .Tính thể tích tứ diện OABC
Đ/S:a.(P):5x-4y+3z-3=0 b.
Bài 14:Cho A(0,-2,-2),B(-1,-1,0),C(-2,-2,0),D(-1/2,-1,0)
a.Tìm giao điểm của đường thẳng AD với các mặt phẳng của tọa độ
b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ,(ABD),tính góc giữa chúng
c.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng AD và BC.Tính khoảng cách giữa chúng
Đ/S:b.(ABC):x-y+z=0;(ABD):2x-z+2=0
c.AD và BC chéo nhau ,d(AD,BC)=
Bài 15:Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1)
a.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB
c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: a). .
Bài 16: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 +z2= 2(x+2y +3z).
a). Gọi A,B,C là giao điểm của mặt cầu với Ox,Oy,Oz( khác với điểm O).
.Xác định A,B,C. Viết phương trình mp(ABC).
b). Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS: a). A(2;0;0),B(0;4;0), C(0;0;6), Mp(ABC): 6x + 3y + 2z -12=0.
b). .
Bài 17: Trong không gian Oxyz, cho I(2;3;-1) và .
a). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d, suy ra phương trình mp(P) qua I và vuông góc với d.
b). Tính khoảng cách từ I đến d. Suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho (S) cắt D tại A,B với AB=10.
ĐS: a). (P):2x =y-2z -9=0; b). d(I;d)=15; (S): (x-2)2 + (y-3)2 +(z+ 1)2 = 250.
Bài 18: Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
a). Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc.
b). Tính góc của đường thẳng AD và mp(ABC).
c).Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: b). ; c). (S): x2 + y2+ z2 - 2x -3y + 8z -13 =0.
Bài 19: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 =4 và mp(P): x+z =2.
a). Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến giữa (P) và (S).
b). Viết phương trình đường cong (C1) lfa hình chiếu vuông góc của © trên mp tọa độ Oxy.
ĐS: I(1;0;1); r = 2; b). .
Bài 20: Lập phương trình của mp( ) đi qua điểm T(-1;-3;2) và cắt mặt cầu (S): (x+1)2 + (y+2)2 +(z+3)2 =14 theo một đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất.
ĐS: R'2= R2 - IH2 mà IH IT, suy ra: đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi vuông góc với IT; ( ):-y+z -1=0.
Bài 21: Cho hai điểm A( -1;3;-2),B(-9;4;9) và mp(P): 2x -y +z +1 =0.
Tìm điểm K thuộc (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất.
ĐS: A'(3;1;0) K(-1;2;3).
Bài 22: Cho mp(P): 2x + y+ z-1=0 và d: . Viết phyương trình của đường thẳng qua giao điểm của (P) và d, vuông góc với d và nằm trong (P).
ĐS: M= .
Bài 23*: trong không gian Oxyz, cho hai mp(P1): 2x-y+2z -1=0;
(P2): 2x -y + 2z+5=0 và (P1) // (P2); điểm A(-1;1;10 nằm trong khoảng giữa hai mp đó. Gọi S là mặt cầu bất kỳ qua A và tiếp xúc với cả hai mp (P1), (P2)
a). Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu (S) là một hằng số.
b).Gọi I là tâm của hình cầu (S). Chứng tỏ rằng điểm I thuộc một đường tròn cố định. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
ĐS: a). R= với (Q) //(P1)//(P2); (Q): 2x-y+2z +m=0.
Do d(P 2; Q)= d(P1; Q) suy ra: m=2.
Mặt khác: do IA=1.
Do đó: .
Câu 24*: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có canh bằng a. Hai điểm M,N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD và B'A tương ứng sao cho BM = B'N = t. Gọi và lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B'A.
a). Tính độ dài đoạn Mn theo a và t độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b).Tính và khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
c).Trong trường hợp tổng quát, chứng minh hệ thức: .
ĐS: B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D(a;a;0) suy ra: .
a). MNmin khi và chỉ khi ;
c). .
Bài 25*: Trong không gian Oxyz, cho bố điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0),D(0;0;2a) B(2a;2a;0) với a> 0.
a). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD. Hẵy tìm tọa độ giao điểm F của đoạn thẳng OE( trong đó O là gốc tọa độ ) với mặt phẳng (ACD).
b). Tính thể tích hình chóp D. OABC.
c). Tìm tọa độ điểm O1 đối xứng với điểm o qua đường thẳng BD.
ĐS: a) F( ; b). V= .
Bài 26*: trong không gian Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết S(3;2;4), B(1;2;3), D(3;0;3).
a). Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SD.
b).Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song song với AC.
c).Gọi H là trùng điểm của BD, G là trực tâm của tam giác SCD. Tính độ dài HG.
ĐS: a). Kẻ HK SD. Do AC SH, AC BD suy ra: AC (SBD); AC HK.
Đường vuông góc chung HK: .
b).I: ;
Suy ra: mp cần tìm: 3x +5y + 4z -25 =0..
c). Ta có: HG (SCD) suy ra:
Bài 27: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3). Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của OA và BC; P,Q là hai điểm trên OC và AB sao cho và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số ?.
ĐS: (MNPQ): 6x+y+3z -6=0; AB:
Suy ra:
Bài 30*: Trong không gian Oxyz.
a). lập phương trình của mp đi qua các điểm M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
b). Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c >0
thỏa mãn a2 +b2 +c2=3. X ác địnha,b,c sao cho khoảng cách từ điểm O(0;0;0) đến mp(ABC) đạt giá trị lớn nhất.
ĐS: a). ;
b).
Bài 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD=2a, AA'=2a.
a). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và B'C.
b). Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số . Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp(AB'C).
c).Tính thể tích A.B'D'C.
d). Tính góc nhị diện [d;A'C';B'].
ĐS: a). (AA'D'D)//(BB'C'C), AB (AA'D'D);(BB'C'C)
Suy ra: d(AD'; B'C)= AB =a.
b). d(M; (AB'C))= a/2.
c). V= .
Bài 32: Cho A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).
a).Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đoạn OH.
b). Gọi D là điểm đối xứng của H qua O. chứng minh rằng tứ diện đều và tính thể tích tứ diện ABCD.
c). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
ĐS: a). (ABC): x+y+z -3=0, OH= ; SABC= .
b).H(1;1;1); D(-1;-1;-1); V=9.
c). ; Do tâm I thuộc DH; AI2= DI2
Bài 33*: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;0;0), điểm B(x0;y0;0) với x0>0; y0>0 sao cho OB=8 và góc AOB = 600.
a). Xác định điểm C trên Oz để thể tích OABC =8.
b). gọi G là trọng tâm tam giác OAB và điểm M nằm trên AC có AM=x. tìm x để OM vuông góc với GM.
ĐS: a).
b).B1(x1; y1;0) là trung điểm OB, suy ra: tam giác AOB1 đều
Do đó: x1=2; x0=4; OB=8 nên: B(4;4 ;0).
Ta có:
Gọi M(xM;0;zM) suy ra: xM(xM-8/3)+ zM2= 0; có 2 trường hợp:
+ Th1:xM= .
+Th2: xM= .
Bài 34: Cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng (D): và mp(P): 2x+y-z+1=0.
a).Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mp(P).
b).Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với mp(P).
ĐS: a). I(-1;1;00 suy ra; B(-3;0;1).
b). .
Bài 35: Trong không gian Oy, cho điểm S(0;0;1) A(1;1;0). Hai điểm M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi sao cho : m+n =1 và m>0, n> 0.
a). Chứng minh rằng thể tích S.OMAN không phụ thuộc vào m và n.
b).Tính d(A;(SMN)). Từ đó suy ra: mp(SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định.
ĐS: a). .
b). (SMN): .
Bài 36: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
.
a). Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
b). Viết phương trình mặt phẳng chứa d2 và song song với d1.
c). Tính khoảng chách giữua hai đường thẳng d1 và d2
ĐS: b).
Câu37:Trong không gian Oxyz,
và 3 điểm A(2,0,1) ,B(2,-1,0),C(1,0,1)
a.Tìm trên d điểm S sao cho :SA+SB+SCđạt giá trị nhỏ nhất
b.Tính thể tích OABC
HD: S là hình chiếu của G trên d (G là trọng tâm)

b.V=1/6
Câu38:Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D':A'(0,0,0);B'(2,0,0);D'(0,2,0)
A(0,0,2).Gọi M,N,P,Qlần lượt là trung điểm các cạnh AB,B'C',C'D'vàDD'
a.Viết phương trình tham số của MN và NQ
b.Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau
c.SNMPQ=?
Đ/S:a.MP:
Câu 39:cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a kí hiệu K,M,N lần lươt là trung điểm các cạnhAB,BC,CA .Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE và mp(OMN)