Phương trình, Bpt vô tỉ, mũ-logarit

**NguoiDien** · 12-30-2009, 01:38 PM

Đây là một chuyên đề trên báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 390 xuất bản tháng 12 năm 2009 của tác giả Nguyễn Anh Dũng. Tôi xin mạn phép tác giả biên tập lại và đưa lên đây cho mọi người cùng tham khảo.

I.PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:

1. Phương pháp biến đổi tương đương:

Chú ý 1: Khi giải BPT có chứa căn bậc hai. Sau khi đã biến đổi , ta thường đưa về một trong hai dạng sau:

$\sqrt{f(x)}<g(x) \Leftrightarrow \left{ f(x)\geq 0 \\ g(x)>0 \\ f(x)<g^{2}(x)$

$\sqrt{f(x)}>g(x)\Leftrightarrow \left[ \left{g(x)<0 \\ f(x)\geq 0\right. \\ \left{g(x)\geq 0 \\ f(x)>g^{2}(x)\right.$

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

$\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}>\sqrt{x-3}$

Cách giải:

Điều kiện: $x\geq 3$ .

$BPT \Leftrightarrow \sqrt{x-1}>\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{(x-3)(x-2)}<4-x$

$\Leftrightarrow \left{ 3\leq x<4 \\ 4(x-3)(x-2)<(4-x)^{2}$

Giải hệ trên ta tìm được nghiệm của BPT đã cho.

2. Phương pháp đặt ẩn số phụ:

Chú ý 2: Khi giải PT $\sqrt[3]{ax+b}+\sqrt{cx+d}=m$
Ta đặt $u=\sqrt[3]{ax+b};\quad v=\sqrt{cx+d}\geq 0$
Ta được hệ phương trình:

$\left{ u+v=m \\ \frac{u^{3}-b}{a}=\frac{v^{2}-d}{c}$

Ví dụ 2: Giải phương trình:

$\sqrt[3]{x+5}\sqrt{4-x}=3$

Cách giải:

Đặt $u=\sqrt[3]{x+5};\quad v=\sqrt{4-x}\geq 0$

Ta được

$\left{ u+v=3\\ u^{3}+v^{3}=9$

$\Leftrightarrow \left{ v=3-u \\ u^{3}+(3-u)^{2}=9$

Từ đó giải ra $u,v.$ Sau đó từ $u,v$ ta có thể tìm ra $x$ .

II.PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT:

1. Phương pháp Logarit hóa:

Chú ý 3: Khi giải phương trình dạng $a^{u}b^{v}=c$ trong đó $a,b,c>0$ còn $u,v$ là các biểu thức có chứa ẩn số ta thường logarit hóa hai vế về dạng:

$u+vlog_{a}b=log_{a}c$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình

$\quad 3^{x^{2}-2}.4^{\frac{2x-3}{x}}=18$

Lời giải:

Điều kiện: $x\neq 0$ .

PT đã cho $\Leftrightarrow log_{3}\left(3^{x^{2}-2}.4^{\frac{2x-3}{x}}\right)=log_{3}18$

$\Leftrightarrow x^{2}-2+\frac{4x-6}{x}.log_{3}2=2+log_{3}2$

$\Leftrightarrow x^{2}-4+\frac{3(x-2)}{x}.log_{3}2=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+2x+3log_{3}2)=0$

Đến đây ta có thể giải ra nghiệm $x=2$ một cách dễ dàng.

2. Sử dụng công thức biến đổi logarit để đưa về cùng cơ số:

Chú ý 4: Trong phương trình Logarit mà cơ số và biểu thức dưới dấu log đều có dạng $a^{\alpha}x^{\beta}$ thì ta sử dụng công thức biến đổi logarit để đưa tất cả các số hạng về cùng cơ số $a$ . Sau đó đặt $t==log_{a}x$ .

Ví dụ 4: Giải phương trình

$log_{2x}\left(\frac{x^{3}}{2}\right)+log_{\sqrt{2} }\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)=2$

Lời giải:

Điều kiện: $x>0;\quad x\neq \frac{1}{2}$

Ta có:

$\frac{log_{2}\left( \frac{x^{3}}{2}\right)}{log_{2}2x}+2log_{2}\left( \frac{2}{\sqrt{x}} \right)=2$

$\Leftrightarrow \frac{3log_{2}x-1}{1+{log_{2}x}+2\left(1-\frac{1}{2}log_{2}x\right)=2$

Đặt $t=log_{2}x$ với điều kiện $t\neq 1$ ta được phương trình:

$\frac{3t-1}{t+1}-t=0$

Giải phương trình này ta được $t=1$ , từ đó tìm được $x=2$ .

3. Phương trình có chứa các căn thức liên hợp:

Chú ý 5: Khi giả phương trình, bất phương trình mũ mà cơ số có căn thức là liên hợp của nhau, tam tìm cách đưa về trường hợp tích các cơ số bằng $1$ . Đặt ẩn số phụ để đưa về một phương trình bậc hai.

Ví dụ 5: Giải bất phương trình

$\left(\sqrt{10}+1\right)^{log_{3}x}-\left(\sqrt{10}-1\right)^{log_{3}x}\geq \frac{2x}{3}$

Lời giải:

Điều kiện $x>0$

Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left(\sqrt{10}+1\right)^{log_{3}x}-\left(\sqrt{10}-1\right)^{log_{3}x}\geq \frac{2}{3}.3^{log_{3}x}$

$\Leftrightarrow \left(\frac{\sqrt{10}+1}{3}\right)^{log_{3}x}-\left(\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)^{log_{3}x}\geq \frac{2}{3}$

Đặt $t=\left(\frac{\sqrt{10}+1}{3}\right)^{log_{3}x}$ với điều kiện $t>0$ ta được:

$t-\frac{1}{t}\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 3t^{2}-2t-1\geq 0$

$\Leftrightarrow (3t+1)(t-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow t\geq 1$

Từ đó ta tìm được $x\geq 1$

4. Chuyển bất phương trình logarit về bất phương trình mũ:

Chú ý 6: Khi giải bất phương trình logarit mà hai vế cơ số khác nhau, sau khi biến đổi, rút gọn ta đặt một vế bằng t, sau đó biến đổi về một bất phương trình nũ. Đối với phương trình thì ta cũng có cách giải quyết tương tự.

Ví dụ 6: Giải bất phương trình

$log_{4}(x^{2}-x-8)\leq 1+log_{3}x}$

Lời giải:

Điều kiện: $x>4$

Đặt $t=log_{3}x\Leftrightarrow x=3^{t}$

Bất phương trình đã cho trở thành:

$log_{4}(9^{t}-3^{t}-8)\leq 1+t$

$\Leftrightarrow 9^{t}\leq 4.4^{t}+3^{t}+8$

$\Leftrightarrow 1\leq 4.\left(\frac{4}{9}\right)^{t}+\left(\frac{1}{3}\r ight)^{t}+8\left(\frac{1}{8}\right)^{t}$

Ta có hàm số: $f(t)=4.\left(\frac{4}{9}\right)^{t}+\left(\frac{1} {3}\right)^{t}+8\left(\frac{1}{8}\right)^{t}$ là nghịch biến và $f(2)=1$

Do đó bất phương trình trở thành:

$f(2)\leq f(t) \Leftrightarrow t\leq 2$

Từ đây ta có thể giải ra nghiệm $4<x\leq 8$

5. Phương trình hỗn hợp:

Chú ý 7: Nếu trong phương trình có chứa $log_{a}x$ trên số mũ và các số hạng dạng $x^{\alpha}$ thì ta có thể đặt $t=log_{a}x\Leftrightarrow x=a^{t}$ để chuyển về phương trình mũ.

Ví dụ 7: Giải bất phương trình

$3^{2log_{2}x}-2x^{1+log_{2}x}-8x^{2}\leq 0$

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$

Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow 9^{log_{2}x}-2.6^{log_{2}x}-8x^{2}\leq 0$

Đặt $t=log_{2}x\Leftrightarrow x=2^{t}$

Ta được bất phương trình:

$9^{t}-2.6^{t}-8.4^{t}\leq 0$

$\Leftrightarrow \left(\frac{9}{4}\right)^{t}-2\left(\frac{3}{2}\right)^{t}-8\leq 0$

Đặt $u=\left(\frac{3}{2}\righ)^{t}$ với $u>0$ ta được:

$u^{2}-2u-8=0$

Từ đây ta giải ra nghiệm $u$ , từ ngiệm $u$ ta giải ra nghiệm $t$ và cuối cùng ta có thể tìm về nghiệm $x$ của bất phương trình ban đầu.

(Còn nữa)

View more random threads:

.

**NguoiDien** · 12-30-2009, 02:13 PM

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐẠO HÀM:

1. Giải phương trình, bất phương trình:

Chú ý 8: Nếu hàm số $f(x)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng $(a;b)$ và $f(x_{o})=0; \quad x_{o}\in (a;b)$ thì trong khoảng $(a;b)$ phương trình $f(x)=0$ có nghiệm $x=x_{o}$ ; bất phương trình $f(x)>0$ có nghiệm $x_{0}<x<b$ (hoặc $a<x<x_{o}$ )

Ví dụ 8: Giải bất phương trình

$2^{log_{3}x}+\left(\frac{1}{2}\right)^{log_{x}3}\g eq \frac{5}{2}$

Lời giải:

Điều kiện: $x>0;\quad x\neq 1$

Đặt $t=log_{3}x\Rightarrow log_{x}3=\frac{1}{t}$

Bất phương trình đã cho trở thành:

$2^{t}+2^{-\frac{1}{t}}\geq\frac{5}{2}$

Xét hàm số $f(t)=2^{t}+2^{-\frac{1}{t}}$ với $t\neq 0$ , dễ thấy:

$f(-1)=f(1)=\frac{5}{2}$

Ta có: $f'(t)=\left(2^{t}+\frac{2^{-\frac{1}{t}}}{t^{2}}\right)ln2>0$

như vậy hàm số $f(t)$ đồng biến trong mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$

Do đó bất phương trình

$f(t)\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \left[ -1\leq t<0 \\ t\geq 1$ .

Vậy $\left[ -\frac{1}{3}\leq x<1 \\ x\geq 3$

2. Biện luận phương trình:

Chú ý 9: Giả sử một phương trình phụ thuộc tham số $m$ , việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm hoặc biện luận số nghiệm của phương trình có thể làm như sau:
Biến đổi phương trình về dạng $m=f(x)$ (hoặc $g(m)=f(x)$ ), khảo sát sự đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $f(x)$ rồi suy ra kết quả bài toán.

Ví dụ 9: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm

$2\sqrt{-x^{2}-2x+3}-(m-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})+m+1=0$

Lời giải:

Đặt $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}$ với $x\in [-3;1]$

Ta có:

$t^{2}=4+2\sqrt{(x+3)(1-x)} \Rightarrow 2\sqrt{-x^{2}-2x+3}=t^{2}+4$

Mà $2\sqrt{(x+3)(1-x)}\leq (x+3)+(1-x)=4\Rightarrow 2\leq t\leq 2\sqrt{2}$

Phương trình đã cho trở thành

$t^{2}-(m-1)t+m-3=0$

$\Rightarrow m=\frac{t^{2}+t-3}{t-1}=f(t)$ với $t\neq 1$

$f'(t)=\frac{t^{2}-2t+2}{t-1}>0$ với $2\leq t\leq 2\sqrt{2}$

Như vậy hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng mà nó xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi:

$f(2)\leq m\leq f(2\sqrt{2})\Leftrightarrow 3\leq m\leq \frac{-6+16\sqrt{2}}{7}$

DƯỚI ĐÂY LÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN DÀNH CHO CÁC BẠN:

Bài 1: Giải phương trình

$3^{x}=2log_{3}(2x+1)+1$

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

$e^{x}+cosx=m+x-\frac{x^{2}}{2}$

Bài 3: Giải bất phương trình

$\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{5-x^{2}}}\geq \frac{3}{2}$

Bài 4: Giải bất phương trình

$x^{2}-5\leq \sqrt{5-x}$

Bài 5: Giải bất phương trình

$log_{7}(1+\sqrt{x}+x)\leq log_{4}x$

Bài 6: Giải phương trình

$log_{2}sinx=2log_{3}tanx$ .