Tìm min và max của giá trị:

**conngan23** · 08-22-2010, 10:57 AM

Tìm min; max của:
a. y = cos²⁰¹⁰x + sin²⁰¹⁰x
b. y = cos⁸x + sin⁸x
c. $y = \sqrt{cos x} + \sqrt{sin x}$
d. $y = \sqrt[3]{cos x}+ \sqrt[3]{sin x}$

View more random threads:

.

**ngphong** · 08-22-2010, 12:56 PM

Mình làm tạm 2 con đầu vì nó khá giống nhau
Do $sin^2x \leq 1$ nên
$sin^8x\leq sin^2x$
$cos^8x\leq cos^2x$
\sr $sin^8x+cos^8x \leq sin^2x+cos^2x=1$
Vậy Max=1
Dấu ''='' xảy ra khi
$\left { sin^8x=sin^2x\\cos^8x=cos^2x$
Đến đây bạn tự giải nhá, nếu là mũ 2010 cũng làm tương tự thôi
Kể cả mũ n lun nhưng mà n chẵn bạn nhé:byebye:.
Còn min thì.....đợi nhé chưa có nghĩ, hì:sweat: .

**ngphong** · 08-22-2010, 01:09 PM

Hì mỗi con nghĩ ra đc một tẹo
Con C này.
Nhớ đặt đk $sinx \geq 0$ và $cosx \geq 0$
Có $y^2=(\sqrt {sinx} +\sqrt {cosx} )^2 \leq 2(sinx+cosx)$ . Bunhiacopxki á
$=2 \sqrt2sin(x+\frac {\pi}{ 4}) \leq 2\sqrt2$
Do y ko âm nên $y \leq sqrt {2\sqrt2}$
Dấu '=' xảy ra khi $\left {sin(x+\frac {\pi}{ 4})=1\\\sqrt {sinx} =\sqrt {cosx}$
Hi xong max:byebye: .

**ngphong** · 08-22-2010, 01:42 PM

Ý cái $\sqrt {sinx} \geq sin ^2x$ là chắc ùi
$\sqrt {cosx} \geq cos ^2x$
Hì nên $y \geq sin ^2x+ cos ^2x=1$
Giống 2 con đầu ý
Nên Min=1 ùi
Hem vậy là con c đã ổn thỏa .

**kuta tutu** · 08-22-2010, 02:12 PM

a, ta thấy rằng hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi}{2}$ do đó ta chỉ cần tìm GTLN,GTNN của hàm số trên 1 chu kì là $[0,\frac{\pi}{2}]$

ta có $y' = 2010sinxcosx(sin^{2008}x - cos^{2008}x)$

$y' = 0 <=> sinx = o$ hoặc $cosx = 0$ hoặc $sinx = cosx$

<=> $x = 0$ hoặc $x = \frac{\pi}{2}$ hoặc $x = \frac{\pi}{4}$

lập bảng biến thiên ...........

nhìn bảng biến thiên ta suy ra :

$max y = 1$ ( khi $x = 0$ hoặc $\frac{\pi}{2}$ ) .. $min y = (\frac{1}{2})^{1004}$
(khi $x = \frac{\pi}{4}$ )
câu b làm tương tự câu a

câu c,d cũng tương tự dùng đạo hàm và lập bảng biến thiên ... .

**kuta tutu** · 08-22-2010, 02:40 PM

1 cách chứng minh khác câu a ,(câu b tương tự )

max thì = 1 rồi nhé

tìm min y :

sử dụng bất đẳng thức co-si cho bộ 1005 số hạng

khi đó ta có

$(sin^2x)^{1005} + 1004.(\frac{1}{2})^{1005} \geq 1005^{1005}\sqrt{(sin^2x)^{1005}.[(\frac{1}{2})^{1005}]^{1004}} = \frac{1005}{2^{1004}}.sin^2x$

tương tự

$(cos^2x)^{1005} + 1004.(\frac{1}{2})^{1005} \geq 1005^{1005}\sqrt{(cos^2x)^{1005}.[(\frac{1}{2})^{1005}]^{1004}} = \frac{1005}{2^{1004}}.cos^2x$

=> $sin^{2010}x + cos^{2010}x + \frac{1004}{2^{1004}} \geq \frac{1005}{2^{1004}}(sin^2x+cos^2x) = \frac{1005}{2^{1004}}$

=> $y \geq \frac{1}{2^{1004}}$ .