Dành cho những bạn yêu thích toán

**m00n** · 06-03-2010, 11:33 PM

bạn hãy thử khả năng của mình với bait toán sau đay:
*b1: cho m,d là các số nguyên với m>=d>=2
gs x1,x2,...,xd là các biến nguyên dương sao cho x1+...+xd=m
tìm gtnn $S={x1}^{2}+...+{xd}^{2}$

*với những bài toán nhủ thế này,các pp tìm cực trị thường dùng có vẻ không còn hiệu quả.
loại toán này được gọi là tìm cực trị rời rạc.
trước hết,nguyên lí rời rạc được phát biểu: trong 1 tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn tồn tại 1 số bé nhất và 1 số lớn nhất; luôn xếp chúng theo trật tự tăng hoặc giảm.

*ta tìm hiểu lời giải bt1:gọi G là tập tất cả các giá trị của S (dễ thấy G hữu hạn và khác rỗng)
theo nguyên lí cực trị rời rạc :tồn tại N là số nhỏ nhất của G.
gs (a1,...,ad) làm cho S nhận giá trị N.
+ta cm các giá trị a1,...,ad chỉ hơn kém nhau tối đa là 1.
thật vây: giả sử chẳng hạn a1-a2=a>1
khi đó,lấy b=a1 -1 ; c=a2 +1 thì a1+a2=b+c và b^2+c^2 < a1^2+a2^2
như vậy bộ số nguyên dương (b,c,a3,a4,...,ad) thỏa mãn tổng =m ,và làm cho giá trị của S nhỏ hơn N(mâu thuẫn)
+gs a1<...<ad và m=dn+k (0<=k<d)
do đặc điểm của dãy a1,...,ad nên suy ra được a1=a2=...=a_d-k=n
và a_d-k+1=...=ad=n+1
vậy gtnn cần tìm là N=(d-k)n^2+k(n+1)^2

*tìm cực trị rời rạc lá vấn đề khó và thiếu công cụ.với dạng toán này sức mạnh của giải tích hoàn toàn bị vô hiệu hóa.
bạn hãy thử luyện tập với bt sau
*b2:cho m>3 là số nguyên dương,gs x1,...xd là các biến nguyên dương scho x1.x2...xd=m.tìm gtln của S=x₁^3+....+x_d^3.