Toán đại học

**chuot sun** · 03-03-12, 02:31 PM

*Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x²+ y²- 2x - 2y = 2.
Tìm tọa độ điểm M thuộc đương tròn trên sao cho tiếp tuyến của (C) ở M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B tạo với O một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

BÀI LÀM

Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm là d₁ và a=OA; b=OB (a,b >0).
Phương trình chính tắc của d_1:
$\frac{_{x}}{a}$ + $\frac{_{y}}{b}$ =1
$\Leftrightarrow$ bx+ay-ab=0
Vì d₁ là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
$d_{I,d}$ =R
$\Leftrightarrow$ $\frac{_{\left|b+a-ab \right|}}{\sqrt[2]a^{2}+b^{2}}$ =2
$\Leftrightarrow$ $\left(a+b-ab \right)^{2}$ =4 $\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow$ 3 $\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)$ +2ab $\left(a+b \right)$ - $a^{2}b^{2}$ -2ab=0
cosi: 3 $\left(a^{2}+^{b^{2}} \right)$ +2ab $\left(a+b \right)$ $\geq$ 6ab+4ab $\sqrt[2]{ab}$
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6ab+4ab $\sqrt[2]{ab}$ - $a^{2}b^{2}$ -2ab
$\Leftrightarrow$ $a^{2}b^{2}$ -4ab $\sqrt[2]{ab}$ -4ab $\geq$ 0
$\Leftrightarrow$ $\sqrt[2]{ab}$ $\geq$ 2+2 $\sqrt[2]{2}$
$\Leftrightarrow$ ab $\geq$ 12 + 8 $\sqrt[2]{2}$
Lại có :
$S_{OAB}$ = $\frac{ab}{2}$ $\geq$ 6 + 4 $\sqrt[2]{2}$
Do đó, diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi và chỉ khi :
a=b=2+2 $\sqrt[2]{2}$
$\Rightarrow$ $\left(d_{1} \right)$ : x+y=2+2 $\sqrt[2]{2}$
Mà M $\epsilon$ $\left(d_{1} \right)$ nên ta có:
M $\left(m,n \right)$ ta có hệ hai phương trình sau:
m+n=2+2 $\sqrt[2]{2}$
$m^{2}$ + $n^{2}$ - 2(m+n)=2
$\Leftrightarrow$
m+n=2+2 $\sqrt[2]{2}$
mn = $\frac{\left(m+n \right)^{2}-\left(m^{2}+n^{2} \right)}{2}$ = 3+2 $\sqrt[2]{2}$
$\Leftrightarrow$ m=n= 1+2 $\sqrt[2]{2}$
Vậy điểm M cần tìm là :
M \left(1+2 $\sqrt[2]{2}$ :1+2 $\sqrt[2]{2}$ \right)