Anh em giúp mình bài BĐT này với

**lackhoai** · 07-05-2011, 10:00 PM

Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé:

Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x, y,z thuộc [-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh rằng x^2+y^2+z^2 ≤ 11
Giúp mình nhé khó quá!
Cảm ơn các bạn nhiều!
Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé
Cảm ơn nhiều!

View more random threads:

.

**light_future96** · 07-08-2011, 11:54 AM

Nguyên văn bởi lackhoai

Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé:

Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x, y,z thuộc [-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh rằng x^2+y^2+z^2 ≤ 11
Giúp mình nhé khó quá!
Cảm ơn các bạn nhiều!
Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé
Cảm ơn nhiều!

Không mất tính tổng quát, giả sử $3\geq x\geq y\geq z\geq -1$
Xét các Trường hợp:
* $1\geq x\geq y\geq z\geq -1$
$\Rightarrow x+y+z\leq 3$
Mà x+y+z=3(gt)
$\Rightarrow x=y=z=1$
$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3<11$
* $3\geq x\geq 1\geq y\geq z\geq -1$
$\Rightarrow {x}^{2}\leq 9$
${y}^{2}\leq 1$
${z}^{2}\leq 1$
$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq 11$
* $3\geq x\geq y\geq 1\geq z\geq -1$
Vì $1\geq z\geq -1 \Rightarrow {z}^{2}\leq 1(1)$
Vì $3\geq x\geq y\geq 1 \Rightarrow (x-3)(x-1)\leq 0$
$\Rightarrow {x}^{2}\leq 4x-3$
Tương tự ${y}^{2}\leq 4y-3$
$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}\leq 4(x+y)-6$
Mà $x+y+z=3$
$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}\leq 4(3-z)-6$
$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}\leq 6-4z\leq 6-4.(-1)\leq 10(2)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq 11$
* $3\geq x\geq y\geq z\geq 1$
$\Rightarrow x+y+x\geq 3$
Mà $x+y+z=3$
$\Rightarrow x=y=z=1$
$\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3<11$
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq 11$ .

**wwecham** · 07-09-2011, 04:22 PM

:41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41: .

**KillBean** · 07-09-2011, 04:32 PM

khó hiểu ghê nhy? :D .

**light_future96** · 07-11-2011, 05:00 PM

Nguyên văn bởi KillBean

khó hiểu ghê nhy? :D

Khó gì đâu
chỉ cần xét 4 trường hợp rùi chứng minh cho trường hợp nào cũng đúng là được mà .

**khanhsy** · 07-13-2011, 01:31 PM

Nguyên văn bởi lackhoai

Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé:

Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x, y,z thuộc [-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh rằng x^2+y^2+z^2 ≤ 11
Giúp mình nhé khó quá!
Cảm ơn các bạn nhiều!
Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé
Cảm ơn nhiều!

$(x+1)(y+1)(z+1)\ge 0\rightarrow 1+x+y+z+xy+yz+zx+zxz \ge 0$

$(3-x)(3-y)(3-z) \ge 0 \rightarrow 27-9(x+y+z)+3(xy+yz+zx)-xyz \ge 0$

$\rightarrow^{(1)+(2)}\rightarrow xy+yz+zx \ge -1$

$(x^2+y^2+z^2):=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) \le 9+2=11$

Bài táon chứng minh xong .