Ai giải hộ bài này cái

**avatar avatar** · 06-22-2011, 10:46 AM

Cho $\ a,b,c>0|abc\leq 1$ CMR: $\ \sum \frac{1}{a+1}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$

View more random threads:

.

**Võ Long Trường** · 06-22-2011, 06:09 PM

Gọi vế trái của bất đẳng thức là A.
Sau đó, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần để chứng minh, như sau:

$\frac{A}{3}\leq \sqrt[3]{\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\Leftrightarrow A\leq \frac{3}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq \frac{3}{\frac{3+(a+b+c)}{3}}=\frac{3}{1+\frac{a+b +c}{3}}(1)$

Vì $abc\leq 1$ nên $\sqrt[3]{abc}\leq 1$ , ta có:

$2\geq 1+\sqrt[3]{abc}\geq 1+\frac{a+b+c}{3} \Rightarrow \frac{3}{2}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}\leq \frac{3}{1+\frac{a+b+c}{3}}(2)$

Vì a, b, c đều là số dương nên chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức: $(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8$ .

Nên $\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 2 \Rightarrow \frac{3}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq \frac{3}{2}(3)$

Từ (1), (2) và (3), chúng ta kết luận $A\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$ . .

Ðề tài: Ai giải hộ bài này cái

Ðiều Chỉnh

Display

Ai giải hộ bài này cái

View more random threads:

The Following 2 Users Say Thank You to avatar avatar For This Useful Post:

The Following 2 Users Say Thank You to Võ Long Trường For This Useful Post:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn