Chứng minh các tứ giác: BDHF, BFEC nội tiếp?

**pepj_ngok96** · 05-14-2011, 11:28 PM

CHo tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I; K lần lượt là hình chiếu của B,C trên đường thẳng EF. Chứng minh:
a) Các tứ giác: BDHF, BFEC nội tiếp
b) H là tâm đường tròn nội tiếp tâm giác DEF
c) DE + DF = IK

hic! mọi ng giúp em giải câu c ý ạ :-ss... còn câu a và câu b thì dễ rùi ạ :)

View more random threads:

.

**Zun Đất** · 05-15-2011, 01:59 PM

$\Delta BIF\sim \Delta BEC\Rightarrow \frac{IF}{BF}= \frac{CE}{BC}\Rightarrow IF=\frac{BF*CE}{BC}$ tương tự: $KF=\frac{BE*CF}{BC}$ .Mặt khác $\Delta BFD\sim \Delta BCA\Rightarrow \frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow DF=\frac{AC*BF}{BC}$ , và $DE=\frac{CE*AB}{BC}$ . Để chứng minh $DF+DE=IK\Leftrightarrow DF+DE=IF+KF$ , ta chứng minh $\frac{AC*BF}{BC}+\frac{CE*AB}{BC}=\frac{BF*CE}{BC} +\frac{BE*CF}{BC}$ . Vì $\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB},\frac{CE}{BC}=\frac{DC }{AC},\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB},\frac{BE}{BC}=AD :AC$ nên ta cần chứng minh: $\frac{AC*BD}{AB}+\frac{AB*DC}{AC}=\frac{BD*DC*BC}{ AB*AC}+\frac{AD^{2}*BC}{AB*AC}\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AD^{2}*BC$ . Thay $AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}$ $\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AC^{2}*BC-DC^{2}*BC\Leftrightarrow AC^{2}*DC+BD*DC*BC-AB^{2}*DC-DC^{2}*BC=0.\Leftrightarrow AC^{2}+BD*BC-AB^{2}-DC*BC=0.$ . mà $AC^{2}-AB^{2}=AD^{2}+DC^{2}-AD^{2}-BD^{2}=DC^{2}-BD^{2}$ nên ta cần CM $DC^{2}-BD^{2}+BD*BC-DC*BC=0\Leftrightarrow \left ( DC-BD \right )\left ( DC+BD-BC \right )=0.$ điều này hiển nhiên đúng vì $DC+BD=BC$ (ĐPCM), hơi dài, thông cảm nha! .

**pepj_ngok96** · 05-15-2011, 02:36 PM

Nguyên văn bởi Zun Đất

$\Delta BIF\sim \Delta BEC\Rightarrow \frac{IF}{BF}= \frac{CE}{BC}\Rightarrow IF=\frac{BF*CE}{BC}$ tương tự: $KF=\frac{BE*CF}{BC}$ .Mặt khác $\Delta BFD\sim \Delta BCA\Rightarrow \frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow DF=\frac{AC*BF}{BC}$ , và $DE=\frac{CE*AB}{BC}$ . Để chứng minh $DF+DE=IK\Leftrightarrow DF+DE=IF+KF$ , ta chứng minh $\frac{AC*BF}{BC}+\frac{CE*AB}{BC}=\frac{BF*CE}{BC} +\frac{BE*CF}{BC}$ . Vì $\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB},\frac{CE}{BC}=\frac{DC }{AC},\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB},\frac{BE}{BC}=AD :AC$ nên ta cần chứng minh: $\frac{AC*BD}{AB}+\frac{AB*DC}{AC}=\frac{BD*DC*BC}{ AB*AC}+\frac{AD^{2}*BC}{AB*AC}\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AD^{2}*BC$ . Thay $AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}$ $\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AC^{2}*BC-DC^{2}*BC\Leftrightarrow AC^{2}*DC+BD*DC*BC-AB^{2}*DC-DC^{2}*BC=0.\Leftrightarrow AC^{2}+BD*BC-AB^{2}-DC*BC=0.$ . mà $AC^{2}-AB^{2}=AD^{2}+DC^{2}-AD^{2}-BD^{2}=DC^{2}-BD^{2}$ nên ta cần CM $DC^{2}-BD^{2}+BD*BC-DC*BC=0\Leftrightarrow \left ( DC-BD \right )\left ( DC+BD-BC \right )=0.$ điều này hiển nhiên đúng vì $DC+BD=BC$ (ĐPCM), hơi dài, thông cảm nha!

thúc ơi thúc, đọc xong, kon bị choáng thúc ạ @-)
nhg mà dù sao vẫn thanks thúc nhìu :x .

**Zun Đất** · 05-15-2011, 02:46 PM

Để thúc cố gắng tìm cách khác, tẹo nữa thúc post lên cho! .

Ðề tài: Chứng minh các tứ giác: BDHF, BFEC nội tiếp?

Ðiều Chỉnh

Display

Chứng minh các tứ giác: BDHF, BFEC nội tiếp?

View more random threads:

The Following User Says Thank You to Zun Đất For This Useful Post:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn