Tích phân

**hoaloaken_hg** · 04-26-2011, 05:49 AM

tính tích phân cận từ 0 đến pi/2 cña cos2x/(1+sin^2x)

View more random threads:

.

**liti** · 04-26-2011, 04:58 PM

mình đã từng thắc mắc bài này và hỏi bên math.vn. Nếu bạn cần thì xem lời giải chi tiết đây

lời giải của 2_N^M`:

Lời giải: Sử dụng công thức $\sin\alpha=\frac{ 2\tan \frac{\alpha}{2} }{1+\tan^2 \frac{ \alpha }{2} }$ chúng ta thấy:

$\frac{\cos 2x}{1+\sin^2x}=\frac{2\cos 2x}{3-\cos 2x}=\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{2}- 2x\right)}{3-\sin\left(\frac{\pi}{2}- 2x\right)}=\frac{4\tan\left( \frac{\pi}{4} -x \right)}{3\tan^2\left( \frac{\pi}{4} -x \right)-2\tan\left( \frac{\pi}{4} -x \right)+3}$

Đặt $\tan\left(\frac{\pi}{4}- x\right)=t$ ; để ý rằng $dt=-(1+t^2)dx$ , chúng ta có được:

$I=4\int_{-1}^{1}\frac{tdt}{(1+t^2)(3t^2-2t+3)}=2\left( \int_{-1}^1\frac{dt}{t^2-\frac{2}{3}t+1}-\int_{-1}^1\frac{dt}{t^2+1} \right)=2(I_1-I_2)$

Xét tích phân đầu tiên:

$I_1=\int_{-1}^1\frac{dt}{t^2-\frac{2}{3}t+1}=\int_{-1}^1\frac{dt}{\left(t-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}}=\left.\frac{3 \sqrt{2}}{4}\arctan\left(\frac{3t-1}{2\sqrt{2}}\right)\right|_{-1}^1=\left.\frac{3\pi \sqrt{2}}{8}$

Với tích phân còn lại thì có ngay: $I_2=\left. \left( \arctan x \right) \right|_{-1}^{1}=\frac{\pi}{2}$

Tóm lại thì có kết quả là:

$I=\left( \frac{-4+3\sqrt{2}}{4}\right)\pi\qquad\$

.

Ðề tài: Tích phân

Ðiều Chỉnh

Display

Tích phân

View more random threads:

The Following User Says Thank You to liti For This Useful Post:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn