1. Vectơ trong không gian

Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây:

a)

b) .

Giải

Nếu gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh thì:



a) Ta có:



là trung điểm của đoạn hay là trọng tâm của tứ diện

b) Với:

.

Do:



Nên:





Hay .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.

Giải

Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì trong không gian, ta đều có :



Thật vậy







Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức (1).

Bây giờ ta giả sử tứ diện có

(theo (1))

Ví dụ 3. Cho hình lập phương , lần lượt là trung điểm của hai cạnh .

a) Chứng minh rằng

b) Tìm của góc hợp bởi hai đường thẳng

Giải

Gọi là cạnh của hình lập phương

a) Ta có :



.

Vậy:



Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng bằng 0 nên:



.

b) Gọi:

là góc hợp bởi và .

Ta có:



Mặt khác ta có :





Nên:





.

Mặt khác:





Ngoài ra ta có:

Thay vào (1) ta có:



3. Vectơ đồng phẳng

Định nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ



thì ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm nằm trên cùng một phẳng.

Định lí 1. Cho 3 vectơ trong đó không đồng thời đồng phương.
Khi đó ba vectơ đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số sao cho:

.

Định lí 2. Nếu là ba vectơ không đồng phẳng thì với mọi vectơ ta đều có:



trong đó bộ ba số là duy nhất.


Tags: hinh hoc khong gian, hình học không gian 12, hinh khong gian, hình không gian, vecto, hình học vecto Nguồn: http://diendankienthuc.net.