Ðề tài: Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

1. Lý thuyết cơ bản:

a) Đường thẳng đi qua điểm có véc tơ chỉ phương có phương trình tham số:

trong đó là một tham số. Ứng với mỗi giá trị cụ thể của ta có tọa độ một điểm nằm trên đường thẳng . Ngược lại, khi ta có phương trình tham số của một đường thẳng như trên, ta có thể chỉ ngay ra được véc tơ chỉ phương của nó và một điểm cụ thể nằm trên


b) Với đường thẳng như trên, ta có thể biến đổi phương trình về dạng:




khi đồng thời khác . Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . Như vậy, giữa hai dạng phương trình của đường thẳng, ta có thể chuyển đổi tùy thuộc vào yêu cầu bài toán cụ thể sao cho dễ dàng và thuận tiện hơn trong việc giải quyết các bài toán.


2. Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng:

Để viết phương trình đường thẳng, việc tối cần thiết là tìm được một điểm nằm trên đường thẳng và véc tơ chỉ phương của nó. Do đó, trong mỗi bài toán cụ thể, bằng mọi cách ta phải tìm được hai yếu tố này rồi viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu của bài toán.


a) Đường thẳng qua một điểm và có véc tơ chỉ phương:

Đây là dạng cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc khi đã có tọa độ một điểm và tọa độ véc tơ chỉ phương của nó.


Ví dụ 1:

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương


Hướng dẫn:

Áp dụng trực tiếp phương trình tham số của đường thẳng ta có phương trình đường thẳng cần tìm là:

b) Đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng thứ hai cho trước:


Ta chú ý rằng, hai đường thẳng song song với nhau thì véc tơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó, ta chỉ cần lấy véc tơ chỉ phương của đường thẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình, sau đó đưa về bài toán cơ bản.


Ví dụ 2:

Viết phương trình đường thẳng qua điểm và song song với đường thẳng
.


Hướng dẫn:

Do song song với đường thẳng nên nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương. Vậy ta có phương trình đường thẳng :

c) Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước:

Ta biết rằng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì véc tơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ có giá song song với đường thẳng. Do đó ta có thể lấy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng.


Ví dụ 3:

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng có phương trình:


Hướng dẫn:

Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham số của đường thẳng là:

View more random threads:

• Thử giải bài hình này nha
• Bài tập chứng minh hình chop?
• Phương pháp chứng minh một điểm là trọng tâm của tam...
• Bài giảng Hai mặt phẳng vuông góc
• Đấu trường hình không gian đây
• Giúp mình mấy bài toán hình học không gian này với!
• 100 bài hình học không gian
• Giải bài toán hình học không gian cực khó!!!!
• Một bài toán khó và hay!
• Giúp bài hình chứng minh

Nguồn: http://diendankienthuc.net.

d) Đường thẳng đi qua hai điểm cho trước:

Ta biết đường thẳng đi qua hai điểm cho trước nghĩa là đường thẳng này là giá của véc tơ tạo bởi hai điểm đó. Chính vì vậy đường thẳng cần tìm nhận véc tơ tạo bởi hai điểm làm véc tơ chỉ phương.

Ví dụ 4:


Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm và .


Hướng dẫn:

Đường thẳng đi qua hai điểm nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham số của đường thẳng là:

e) Đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng:


Hai mặt phẳng trong không gian có giao tuyến thì đường thẳng này đồng thời nằm trên cả hai mặt phẳng. Do đó đường thẳng này vuông góc đồng thời với cả hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Từ đây tư suy ra phương pháp viết phương trình đường thẳng giao tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đã cho làm véc tơ chỉ phương của đường thẳng. Tuy nhiên, bài toán này cần tìm ra được một điểm chung của hai mặt phẳng, việc này cần khéo léo trong từng bài toán cụ thể.


Ví dụ 5:

Viết phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
và


Hướng dẫn:

Đường thẳng là giao tuyến của và nên nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương.


Ta có:








Suy ra


Với ta có thể thay vào hai phương trình mặt phẳng để tìm ra một điểm chung:



Giải hệ này ta được


Như vậy ta có điểm là một điểm chung của hai mặt phẳng. Vậy đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là:




Chú ý: Trong bài toán này, thông thường bài toán thường cho dễ dàng để tìm ra được một điểm chung của hai mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu không có một điểm chung của hai mặt phẳng như ở trên, ta có thể tìm điểm chung bằng cách cho một giá trị (hoành độ, tung độ, hoặc cao độ), sau đó thế vào hai phương trình mặt phẳng và giải hệ, ta sẽ có một điểm chung của hai mặt phẳng như ở trên.

f) Đường thẳng hình chiếu vuông góc của một đường trên mặt phẳng:


Ta cần nắm vững các bước tìm đường thẳng hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng trong hình học không gian, từ đó ta mới có thể phân tích bài toán để viết phương trình đường thẳng hình chiếu dưới dạng tọa độ.


Trong không gian, hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng chính là giao tuyến của mặt phẳng đi qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng ban đầu với mặt phẳng ban đầu đó. Chính vì vậy, ta có thể nêu tổng quát các bước giải quyết bài toán viết phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng như sau:


* Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với (Chú ý rằng trong bài làm thực tế, ta không cần viết phương trình mặt phẳng mà chỉ cần véc tơ pháp tuyến của nó để tìm ra véc tơ chỉ phương của đường thẳng )


* Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và thì chính là đường thẳng cần tìm.(Khi viết phương trình đường thẳng , ta có thể chỉ cần tìm một điểm trên là giao điểm của với là đủ nên không cần phải viết cụ thể phương trình mặt )


Ví dụ 6:
Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng:


Hướng dẫn:


Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với thì .


Ta có:








Suy ra


là hình chiếu vuông góc của trên thì là giao tuyến của và nên





Điểm là giao điểm của và thì nằm trên . Ta đi tìm điểm








Suy ra . Vậy phương trình đường thẳng qua và có véc tơ chỉ phương có phương trình tham số:




Chú ý: Khi phân tích bài toán này thấy có vẻ phức tạp, tuy nhiên vào bài toán cụ thể hoản toàn không khó khăn vì đã đơn giản hóa các bước từ hình không gian về hình tọa độ. Mặt khác, bài toán này cũng có thể giải quyết bằng một cách khác như sau: Lấy hai điểm không trùng nhau trên rồi tìm hình chiếu vuông góc của hai điểm này trên mặt phẳng . Việc cuối cùng chỉ là viết phương trình đường thẳng qua hai điểm vừa tìm được.

g) Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:


Cũng giống như bài toán trên. Việc tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ta cũng phải phân tích trên bài toán hình học không gian thuần túy, sau đó mới chuyển sang phương pháp tọa độ. Bài toán tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và có thể định hướng tổng quát như sau:


* Viết phương trình mặt phẳng qua và song song với .


* Tìm hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng


* Tìm giao điểm của và


* Viết phương trình đường thẳng qua và vuông góc với thì đường thẳng chính là đường thẳng cần tìm. Nguồn: http://diendankienthuc.net.