Khoảng cách-Góc

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:40 AM

KHOẢNG CÁCH-GÓC

I. Các kiến thức cơ bản

1. Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$ được tính theo công thức

$d(M;\Delta )=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

2. Cho hai điểm $M(x_{M}; y_{M}), N(x_{N}; y_{N})$ và đường thẳng $\Delta: ax+by+c=0$ . Khi đó

* $M, N$ nằm cùng phía đối với $\Delta\Leftrightarrow (ax_{M}+by_{M}+c)(ax_{N}+by_{N}+c)>0$ ;

* $M, N$ nằm khác phía đối với $\Delta\Leftrightarrow (ax_M+by_M+c)(ax_N+by_N+c)<0$

3. Cho hia đường thẳng $\Delta_1 : a_1x+b_1y+c_1=0$ và $\Delta_2 : a_2x+b_2y+c_2=0$ . Khi đó

* Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $\Delta_1 và \Delta_2$ là

$\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm\frac {a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

* Góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ được xác định bởi công thức

$\cos(\Delta_1, \Delta_2)=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2 }\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

* $\Delta_1\bot\Delta_2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0$ .

II. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với $A(-1; 0), B(2; 3), C(3; -6)$ và đường thẳng $\Delta : x-2y-3=0$ .

a) Xét xem đường thẳng $\Delta$ cắt cạnh nào của tam giác;

b) Tìm điểm $M$ trên $\Delta$ sao cho $|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|$ nhỏ nhất.

Bài 2: Cho ba điểm $A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2)$

a) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác;

b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A$ ;

c) Tìm toạ độ tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

Bài 3: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh tam giác đó là:

$x+2y=0; 2x+y=0; x+y=1$

Bài 4: Cho điểm $A(-1; 2)$ và đường thẳng $\Delta :\left{ x=-1+2t\\y=-2t$

Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$ . Từ đó suy ra diện tích của hình tròn tâm $A$ tiếp xúc với $\Delta$ .

Bài 5: Với điều kiện nào thì các điểm $M(x_1; y_1)$ và $N(x_2; y_2)$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0.$

Bài 6: Biết các cạnh của tam giác $ABC$ có phương trình:

$AB: x-y+4=0; BC: 3x+5y+4=0; CA: 7x+y-12=0$

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A$ ;

b) Không dùng hình vẽ, hãy cho biết điểm $O$ nằm trong hay ngoài tam giác $ABC$ .

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng

a) Qua $A(-2; 0)$ và tạo với đường thẳng $d: x+3y-3=0$ một góc $45^0$ ;

b) Qua $B(-1; 2)$ và tạo với đường thẳng $d: \letf{ x=2+3t\\ y=-2t$ một góc $60^0$ .

Bài 8: Xác định các giá trị của $a$ để góc tạo bởi hai đường thẳng $\left{ x=2+at \\ y=1-2t$ và $3x+4y+12=0$ bằng $45^0$ .

a) Cho hai điểm $A(1; 1), B(3; 6)$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng bằng $2$ .

b) Cho đường thẳng $d: 8x-6y-5=0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $5$ .

Bài 9: Cho ba điểm $A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4)$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và cách đều hai điểm $B, C$

Bài 10:

a) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , biết phương trình các đường thẳng $AB, BC$ lần lượt là $x+2y-1=0$ và $3x-y+5=0$ . Viết phương trình đường thẳng $AC$ biết rằng đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M(1; -3)$ ;

b) Cho hai đường thẳng $\Delta_1 :2x-y+5=0$ , $\Delta_2 : 3x+6y-1=0$ và điểm $M(2; -1)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và tạo với hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ .

Bài 11: Cho hai đường thẳng song song $\Delta_1: ax+by+c=0$ và $\Delta_2 : ax+by+d=0$ . Chứng minh rằng

a) Khoảng cách giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\frac{|c-d|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

b) Phương trình đường thẳng song song và cách đều $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là
$ax+by+\frac{c+d}{2}=0$

Bài 12: Cho hình vuông có đỉnh $A(-4; 5)$ và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình $7x-y+8=0$ . Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.

Bài 13: Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(\frac{4}{5}$ ; $\frac{5}{7})$ . Hai đường phân giác trong của góc $B$ và $C$ lần lượt có phương trình $x-2y-1=0$ và $x+3y-1=0$ . Viết phương trình cạnh $BC$ của tam giác.

Bài 14: Cho hai điểm $P(1; 6), Q(-3; -4)$ và đường $\Delta: 2x-y-1=0$ .

a) Tìm toạ độ điểm $M\in\Delta$ sao cho $MP+MQ$ nhỏ nhất;

b) Tìm toạ độ điểm $N\in\Delta$ sao cho $NP-NQ$ lớn nhất.

Bài 15: Cho đường thẳng $\Delta_{m}:\quad (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0$ và hai điểm $A(2; 3), B(1; 0)$

a) Chứng minh rằng $\Delta_m$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi $m$ ;

b) Xác định $m$ để $\Delta_m$ có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng $AB$ ;

c) Tìm m để khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\Delta_m$ là lớn nhất.

View more random threads:

.

Ðề tài: Khoảng cách-Góc

Ðiều Chỉnh

Display

Khoảng cách-Góc

View more random threads:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn