Phương trình đường thẳng

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:36 AM

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

Đường thẳng trong mặt phẳng

I.Phương trình tổng quát của đường thẳng:

A.Các kiến thức cơ bản:

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

$ax+by+c=0\;(a^2+b^2\not=0)$

$\vec{n}=(a; b)$ là một vectơ pháp tuyến.

2. Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ nhận vectơ $\vec{n}=(a; b)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

3. Đường thẳng cắt trục $Ox$ tại điểm $A(a; 0)$ và $Oy$ tại điểm $B(0; b)\qquad (ab\not=0)$ có phương trình theo đoạn chắn:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ .

4. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc có dạng $y=kx+b$ , trong đó $k=\tan\alpha$ với $\alpha$ là góc giữa tia $Mt$ (phần của đường thẳng nằm phía trên $Ox$ ) với tia $Mx$ .

5. Đường thẳng qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có hệ số góc $k$ sẽ có phương trình:

$y-y_0=k(x-x_0)$

6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\Delta_1:\quad a_1x+b_1y+c_1=0$ và $\Delta_2:\quad a_2x+b_2y+c_2=0$ . Toạ độ giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là nghiệm của hệ:

$\left{ a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0$
a) Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ thì $\Delta_1\equiv\Delta_2$

b) Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ thì $\Delta_1\parallel\Delta_2$

c) Nếu $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ thì $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ .

Đường thẳng đi qua giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có dạng:

$\lambda (a_1x+b_1y+c_1)+\mu (a_2x+b_2y+c_2)=0$

B. Bài tập:

Bài 1:

Viết phương trình các đường cao của tam giác $ABC$ biết $A(-1; 2),\quad ;B(2; -4),\quad ;C(1; 0)$ .

Baì 2:

Viết phương trình các đường trung trực của tam giác $ABC$ biết $M(-1; 1),\quad ;N(1; 9),\quad ;P(9; 1)$ là các trung điểm của ba cạnh tam giác.

Bài 3:

Cho đường thẳng $\Delta : ax+by+c=0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta '$ đối xứng của đường thẳng $\Delta$ :

a) Qua trục hoành.

b) Qua trục tung.

c) Qua gốc toạ độ.

Bài 4:

Cho điểm $A(1; 3)$ và đường thẳng $\Delta : x-2y+1=0$ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với $\Delta$ qua $A$ .

Bài 5:

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $d_1:\quad 2x-5y+6=0$ và $d_2:\quad -x+y-3=0$

b) $d_1:\quad -3x+2y-7=0$ và $d_2: 6x-4y-7=0$

c) $d_1:\quad \sqrt{2}x+y-3=0$ và $d_2:\quad 2x+\sqrt{2}y-3\sqrt{2}=0$

d) $d_1:\quad (m-1)x+my+1=0$ và $d_2: 2x+y-4=0$

Bài 6:

Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo $m$

$\Delta_1:\quad 4x-my+4-m=0$

$\Delta_2:\quad (2m+6)x+y-2m-1=0$

Bài 7:

Cho điểm $A(-1; 3)$ và đường thẳng $\Delta:\quad x-2y+2=0$ . Dựng hình vuông $ABCD$ sao cho hai điểm $B, C$ nằm trên $\Delta$ và các toạ độ của đỉnh $C$ đều dương.

a) Tìm toạ độ các đỉnh $B, D, C$ .

b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông $ABCD$ .

Bài 8:

Chứng minh rằng diện tích $S$ của tam giác tạo bởi đường thẳng $\Delta:\quad ax+by+c=0$ (với $a, b, c\neq 0$ ) với các trục toạ độ được tính bởi công thức: $S=\frac{c^2}{2|ab|}$ .

Bài 9:

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $P(6; 4)$ và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài 10:

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $Q(2; 3)$ và cắt các tia $Ox, Oy$ tại hai điểm $M, N$ khác điểm $O$ sao cho $OM+ON$ nhỏ nhất.

Bài 11:

Cho điểm $M(a; b)$ với $a>0, b>0$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox, Oy$ tại hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 12:

Cho đường thẳng $d_1:\quad 2x-y-2=0, \qquad d_2:\quad x+y+3=0$ và điểm $M(3; 0)$ .

a) Tìm toạ độ giao điểm của [tex]d_1[tex] và $d_2$ .

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ , cắt $d_1, d_2$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ sao cho $M$ là trung điểm đoạn $AB$ .

Bài 13:

Cho tam giác $ABC$ có $A(0; 0), B(2; 4), C(6; 0)$ và các điểm $M$ trên cạnh $AB$ , $N$ trên cạnh $BC$ , $P$ và $Q$ trên cạnh $AC$ sao cho [tex]MNPQơ/tex] là hình vuông.

Tìm toạ độ các điểm $M, N, P, Q$ .

View more random threads:

.

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:37 AM

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II. Phương trình tham số của đường thẳng:

A. Các kiến thức cơ bản:

1. Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và nhận vectơ $\vec{u}(a; b)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số:

$\left{ x=x_0+at\\y=y_0+bt$

2. Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và nhận vectơ $\vec{u}(a; b)$ (với $ab\not=0$ ) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc:

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

3. Đường thẳng đi qua hai điểm $M(x_1; y_1)$ và $N(x_2; y_2)$ có phương trình:

$\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}$

với quy ước rằng nếu mẫu bằng $0$ thì tử cũng bằng $0$ .

Chú ý: Khi $a=0$ hoặc $b=0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

B. Bài tập:

Bài 14:

Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau:

a) $\left{ x=1-2t \\ y=3+t$

b) $\left{ x=2+t \\ y=-2-t$

c) $\left{ x=-3 \\ y=6-2t$

d) $\left{ x=-2-3t \\ y=4$

Bài 15:

Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:

a) $3x-y-2=0$

b) $-2x+y+3=0$

c) $x-1=0$

d) $y-6=0$

Bài 16:

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng $d$ trong các trường hợp sau:

a) $d$ đi qua $A(-1; 2)$ và song song với đường thẳng $5x+1=0$

b) $d$ đi qua $B(7; -5)$ và vuông với đường thẳng $x+3y-6=0$

c) $d$ đi qua $C(-2; 3)$ và có hệ số góc $k=-3$

d) $d$ đi qua hai điểm $M(3; 6)$ và $N(5; -3)$ .

Bài 17:

Cho hai đường thẳng

$d_1:\quad \left{ x=x_1+at\\y=y_1+bt$

và

$d_2:\quad \left{ x=x_2+cs\\y=y_2+ds$

( $x_1, x_2, y_1, y_2$ là các tham số). Tìm điều kiện của $a, b, c, d$ để hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ :

a) Cắt nhau

b) Song song

c) Trùng nhau

d) Vuông góc với nhau

Bài 18:

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm của chúng (nếu có):

a) $\Delta_1:\quad \left{ x=1+2t\\y=-3-3t$

và

$\Delta_2:\quad 2x-y-1=0$

b) $\Delta_1:\quad \left{ x=-2t\\y=1+t$

và

$\Delta_2:\quad \frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{-2}$

c) $\Delta_1:\quad \left{ x=-2+t\\y=-t$

và

$\Delta_2:\quad \left{ x=4s\\y=2-s$

d) $\Delta_1:\quad \frac{x+2}{-1}=\frac{y+3}{5}$

và

$\Delta_2:\quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+18}{-10}$ .

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:38 AM

Bài 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ , biết $A(1; 2)$ và phương trình hai đường trung tuyến là $2x-y+1=0$ và $x+3y-3=0$ .

Bài 2:Tam giác $ABC$ có $C(4; 4)$ , đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ có phương trình lần lượt là $2x-3y+12=0$ và $2x+3y=0$ . Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ .

Bài 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ , biết $A(2; -4)$ và phương trình các đường phân giác của các góc $B, C$ lần lượt là $x+y-2=0$ và $x-3y-6=0$ .

Bài 4: Cho các điểm $A(1; 0), B(-2; 4), C(-1; 4), D(3; 5)$ . Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho diện tích hai tam giác $MAB$ và $MCD$ bằng nhau.

Bài 5: Cho góc vuông $xOy$ và hai điểm $A, C$ chuyển động theo thứ tự $Ox$ , $Oy$ sao cho $OA+OC=b$ ( $b$ là độ dài cho trước). Gọi $B$ là đỉnh của hình chữ nhật $OABC$ . Chứng minh rằng đường thẳng $\Delta$ qua $B$ , vuông góc với đường thẳng $AC$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6: Cho điểm $A(1; 1)$ . Hãy tìm toạ độ điểm $B$ trên đường $y=3$ và điểm $C$ trên trục hoành sao cho tam giác $ABC$ là đều.

Bài 7: Cho hình vuông $ABCD.\quad E, F$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC }; \overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ . $AE, BF$ cắt nhau tại $I$ . Chứng minh rằng $\widehat{AIC}=90^0$ .

Bài 8: Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ , biết $B(2; -1)$ , đường cao kẻ từ $A$ và phân giác của góc $C$ có phương trình lần lượt là
$3x-4y+27=0$ và $x+2y-5=0$

Bài 9: Viết phương trình các cạnh của tam giác đều $ABC$ biết $A(2; 6)$ , cạnh $BC$ nằm trên đường thẳng $\Delta :\sqrt{x}-3y+6=0$ .

Bài 10: Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S=\frac{3}{2}$ , toạ độ các đỉnh $A(2; -3), B(3; -2)$ và trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng $3x-y-8=0$ . Tìm toạ độ đỉnh $C$ .

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:38 AM

Bài 11: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , các đỉnh $A, B$ nằm trên trục hoành, phương trình cạnh $BC$ là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$ . Tìm toạ độ trọng tâm tam giác, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng $2$ .

Bài 12: Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ , cho hai điểm $A$ và $B$ chuyển động lần lượt trên các tia $Ox, Oy$ sao cho $OA+OB=k$ (không đổi). Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn $AB$ luôn đi qua một điểm cố định

Bài 13: Cho góc vuông $xOy$ và hai điểm $A, B$ cố định trên $Ox, Oy$ . Các điểm $M, N$ di chuyển lần lượt trên các cạnh $Ox, Oy$ sao cho $\frac{OM}{OA}+\frac{ON}{OB}=2$ . Chứng minh rằng các giao điểm của $AN$ và $BM$ chạy trên một đường thẳng cố định.

Bài 14: Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho điểm $A(a; b)$ nằm trong góc $xOy$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ , cắt các tia $Ox, Oy$ tại $M, N$ sao cho $OM+ON$ nhỏ nhất.

Bài 15: Cho $A(1; 1)$ . Tìm điểm $B$ trên đường thẳng $y=3$ và $C$ trên trục hoành sao cho $\Delta ABC$ là đều.

Bài 16: Diện tích $\Delta ABC$ bằng $\frac{3}{2}$ , hai đỉnh $A(2; -3)$ và $B(3; -2)$ , trọng tâm $G$ thuộc đường thẳng $3x-y-8=0$ . Tìm toạ độ đỉnh $C$ .

Bài 17: Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $2x-y+1=0$ và $x-2y-3=0$ đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau.

Bài 18: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $P(2; -1)$ sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng $2x-y+5=0$ và $3x+6y-1=0$ tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm với hai đường thẳng trên.

Bài 19: Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết $B(2; -1)$ , đường cao và phân giác trong qua đỉnh $A, C$ lần lượt có phương trình là $3x-4y+27=0$ và $x+2y-5=0$

Bài 20: Hình chữ nhật $ABCD$ có $B(5; 1)$ và $D(0; 6)$ . Một cạnh cạnh của hình chữ nhật có phương trình là $x+2y-12=0$ . Tìm phương trình các cạnh còn lại. .

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:38 AM

Bài 21: Một hình thoi có một đường chéo có phương trình là x+2y-7=0; một cạnh có phương trình là x+7y-7=0; một đỉnh là (0; 1). Tìm phương trình các cạnh của hình thoi.

Bài 22: Hai cạnh bên của một tam giác cân có phương trình là 2x-y+5=0 và 3x+6y-1=0; cạnh đáy của tam giác cân đi qua điểm A(2; -1). Tìm phương trình cạnh đáy.

Bài 23: Cho tam giác ABC có phương trình phân giác trong AD: x-y=0, đường cao CH: 2x+y+3=0; cạnh AC qua M(0; -1) và AB=2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 24: Cho tam giác ABC có C(-3; 1), phương trình phân giác trong AD: x+3y+12=0 và đường cao AH: x+7y+32=0. Tìm phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 25: Cho $M(3; 1)$ . Tìm phương trình đường thẳng qua $M$ và cắt hai nửa trục $Ox, Oy$ tại $A, B$ sao cho $OA+OB$ nhỏ nhất.

Bài 26: Cho hình vuông $ABCD$ . Trên $BC$ lấy điểm $E$ . Đường phân giác trong của $\widehat{BAE}$ và $\widehat{EAD}$ lần lượt cắt $BC$ và $CD$ tại $M, N$ . Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $AE$ .

Bài 27: Cho tam giác $ABC$ cố định. $MNPQ$ là hình chữ nhật thay đổi có $M$ , $N$ thuộc cạnh $BC$ ; $P$ thuộc cạnh $CA$ và $Q$ thuộc cạnh $AB$ . Tìm tập hợp tâm các hình chữ nhật $MNPQ$ .

Bài 28: Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$ , $\widehat{BAC}=90^0$ . Biết $M(1; -1)$ là trung điểm $BC$ và $G(\frac{2}{3}; 0)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tìm toạ độ $A, B, C$ .

Bài 29: Hình hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $I(\frac{1}{2}; 0)$ , phương trình $AB$ : $x-2y+2=0$ và $AB=2AD$ . Tìm toạ độ các đỉnh $A, B, C, D$ biết đỉnh $A$ có hoành độ âm.

Bài 30: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , phương trình $BC$ : $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$ , các đỉnh $A, B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2$ . Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác. .

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:39 AM

Bài 31: Cho hai đường thẳng $d_1: x-y=0$ và $d_2:2x+y-1=0$

Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh $A\in d_1$ , đỉnh $C\in d_2$ và các đỉnh $B, D$ thuộc trục hoành.

Bài 32: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho các đường thẳng:

$d_1: x+y+3=0;$ ; $d_2: x-y-4=0;$ ; $d_3: x-2y=0$

Tìm toạ độ của $M$ trên đường thẳng $d_3$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d_1$ bằng hai lần khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d_2$ .

Bài 33: Cho $x, y$ là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|$

Bài 34: Giải phương trình

$\left[ x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}\right]$

Bài 35: Giải hệ phương trình

$\left{ \sqrt{x^2+x+y+1}+x+ \sqrt{y^2+x+y+1}+y=18\\ \sqrt{x^2+x+y+1}-x+ \sqrt{y^2+x+y+1}-y=2$

$Bài 36$ : Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=m$

Bài 37: Cho $a, b, c>0$ và $a+b+c\le 1$ . Chứng minh rằng

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\ge \sqrt{82}$

Bài 38: Cho $x, y, z$ thoả mãn $\left{ x^2+xy+y^2=3\\ y^2+yz+z^2=16$

Chứng minh rằng $xy+yz+zx\le 8$

Bài 39: Chứng minh rằng trong mọi $\Delta ABC$ ta có

$\sqrt{3}\cos A+ 2\cos B+2\sqrt{3}\cos C\le 4$

Bài 40: Cho $a, b, c>0$ và $ab+bc+ca=abc$ .

Chứng minh rằng $\dfrac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}} {bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\sqrt{3}$

Bài 41: Tìm GTNN của hàm số $y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-\sqrt{2}x+1}$

Bài 42: Cho $\left{ a, b, c>0\\ a+b+c\le\frac{3}{2}$ .

Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2} }+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ .

Ðề tài: Phương trình đường thẳng

Ðiều Chỉnh

Display

Phương trình đường thẳng

View more random threads:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn