Đường tròn

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:34 AM

ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ , bán kính $R$ là:

$(x-a)^2+(x-b)^2=R^2$

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $( C )$ tại điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường tròn là:

$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

2. Phương trình $C(x, y)=x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

với $a^2+b^2>c$ , biểu diễn một đường tròn $( C )$ tâm $I(a; b)$ , bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ .

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $( C )$ tại điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường tròn là:

$x_0x+y_0y-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$

3. Phương tích của điểm $M(x_0; y_0)$ đối với đường tròn $( C )$ là:

$P_{M/( C )}=x_0^2+y_0^2-2ax_0-2by_0+c=C(x_0, y_0)$

4. Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm:

$(C_1):\quad x_1^2+y_1^2-2a_1x-2b_1y+c_1=0$

$(C_2):\quad x_2^2+y_2^2-2a_2x-2b_2y+c_2=0$

trong đó $(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2\not=0$ , có phương trình là:

$(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y-\frac{c_1-c_2}{2}=0$

II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN:

1. Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

Phương pháp

Cách 1:

a) Đưa phương trình về dạng:

$x^2+y^2-2ax-2by+c=0\quad (1)$

b) Xét dấu biểu thức $m=a^2+b^2-c$ .

c) Nếu $m>0$ thì $(1)$ là phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ , bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ .

Cách 2:

Đưa phương trình về dạng

$(x-a)^2+(y-b)^2=m\quad (2)$

Nếu $m>0$ thì $(2)$ là phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ , bán kính $R=\sqrt{m}$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có:

a) $x^2+y^2-10x+6y-15=0$

b) $2x^2+2y^2-8x+14y-1=0$

c) $2x^2+y^2-4x+12y-13=0$

d) $x^2+y^2-5x+8y-4=0$

e) $x^2+y^2-8x+4y+15=0$

g) $x^2+y^2-2\sqrt{3}x+4y+7=0$

Ví dụ 2: Cho phương trình $x^2+y^2-2(m-1)x+4my+4m^2-4=0 \quad (1)$

a) Với giá trị nào của $m$ thì $(1)$ là phương trình của đường tròn?

b) Nếu $(1)$ là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn đó theo $m$ .

2. Lập phương trình của đường tròn.

Phương pháp

Cách1:

a) Tìm toạ độ tâm $I(a; b)$ của đường tròn $( C )$ ;

b) Tính bán kính $R$ của $( C )$ ;

c) Viết phương trình $( C )$ theo dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\quad (1)$

Chú ý

a) $( C )$ đi qua $A, B\Leftrightarrow IA^2=IB^2=R^2$ .

b) $( C )$ đia qua $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại $A\Leftrightarrow IA=d(I,\Delta)$ .

c) $( C )$ tiếp xúc với hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2\Leftrightarrow d(I,\Delta_1)=d(I,\Delta_2=R)$ .

Cách 2:

a) Gọi phương trình của đường tròn $( C )$ là $x^2+y^2-2ax-2by+c=0\quad (2)$

b) Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là $a, b, c$ .

c) Giải hệ phương trình thế tìm $a, b, c$ thế vào $(2)$ ta được phương trình đường tròn $( C )$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1: Lập phương trình của đường tròn $( C )$ trong các trường hợp sau:

a) $( C )$ có tâm $I(-1; 2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: x-2y+7=0$ .

b) $( C )$ có đường kính $AB$ với $A(1; 1), B(7; 5)$ .

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)$ .

3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp

Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ thuộc đường tròn $( C )$ .

a) Tìm toạ độ tâm $I(a; b)$ của $( C )$ .

b) Phương trình tiếp tuyến với $( C )$ tại $M_0(x_0; y_0)$ có dạng:

$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

View more random threads:

.

**NguoiDien** · 02-22-2011, 12:35 AM

Bài 1: Viết phương trình đường tròn tâm $I(4; 3)$ , tiếp xúc với đường thẳng $x-3y-5=0$

Bài 2: Cho họ đường tròn $(C_m)$ có phương trình

$x^2+y^2-(m-2)x+2my-1=0$

Bài 3: Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường tròn $(C_m)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4: Cho điểm $A(1; 2), B(0; 1), C(-2; 1)$

a) Viết phương trình đường tròn $( T )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

b) Giả sử $M$ là điểm chuyển động trên đường tròn $( T )$ . Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó.

Bài 5: Cho đường tròn tâm $A(2; 3)$ , bán kính $R=1$ .

a) Tìm điều kiện của $k$ để đường thẳng $\Delta : y=kx$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm giá trị của $k$ để đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn tạo thành dây cung có độ dài là $\sqrt{2}$ .

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; -1)$ và tiếp xúc với đường tròn $x^2+y^2-6x-8y+21=0$

Bài 7: Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn

$(C_1):\quad x^2+y^2-6x+5=0$

$(C_2):\quad x^2+y^2-12x-6y+44=0$

Bài 8: Cho đường tròn $( C ):\quad x^2+y^2-1=0$ và họ đường tròn

$(C_m):\quad x^2+y^2-2(m+1)x+4my-5=0.$

Chứng minh rằng có hai đường tròn của họ $(C_m)$ tiếp xúc với $( C )$ . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Bài 9: Viết phương trình đường tròn đia qua hai điểm $A(3; 6), B(7; 4)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\quad x-3y-5=0$ .

Bài 10: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $A(1; 1), B(0; 2)$ và tiếp xúc với đường tròn $( C ):\quad x^2+y^2-10x-10y+34=0$ .

Bài 11: Viết phương trình đường tròn $( C ')$ tiếp xúc với trục $Ox$ tại gốc toạ độ và tiếp xúc với đường tròn $( C ) :\quad (x-6)^2+(y-13)^2=25$ .

Bài 12: Cho đường thẳng có phương trình $\Delta (x, y)=\alpha x+\beta y+\gamma =0$ và đường tròn $C(x, y)=x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ cùng đi qua hai điểm $M, N$ .

Chứng minh rằng đường tròn $C'(x, y)=x^2+y^2+2a'x+2b'y+c'=0$ đi qua $M, N$ khi và chỉ khi $C'(x, y)=C(x, y)+\lambda\Delta (x, y), (\lambda\in R)$ .

Bài 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm $A(1; -2)$ và qua giao điểm của đường thẳng $x-7y+10=0$ với đường tròn $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ .

Bài 14: Cho hai đường tròn phân biệt

$C_1(x, y):\quad x^2+y^2+2a_1x+2b_1y+c_1=0$

$C_2(x, y):\quad x^2+y^2+2a_2x+2b_2y+c_2=0$

cùng đi qua hai điểm $M, N$ .

Chứng minh rằng đường tròn $C(x, y)=x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ đi qua $M, N$ khi và chỉ khi $C(x, y)=\lambda_1C_1(x, y)+\lambda_2C_2 (x, y), (\lambda_1,\lambda_2 \in R)$ .

Bài 15: Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai đường tròn

$(x-3)^2+(y-2)^2=4$

$(x-4)^2+y^2=1$

và có tâm nằm trên đường thẳng $y=x+2$ .

Bài 16: Cho hai điểm $A(1; 2), B(4; 3)$ . Tìm trên trục hoành điểm $M$ sao cho $\widehat{AMB}=45^0$ .

Bài 17: Cho đường thẳng $\Delta :\quad 3x+4y-25=0$ , điểm $M$ chạy trên $\Delta$ . Trên tia $OM$ lấy điểm $N$ sao cho $OM.ON=1$ . Chứng minh rằng $M$ chạy trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó. .

Ðề tài: Đường tròn

Ðiều Chỉnh

Display

Đường tròn

View more random threads:

The Following User Says Thank You to NguoiDien For This Useful Post:

Một số bài tập....

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn