Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.

**NguoiDien** · 08-03-2009, 12:54 PM

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

Đường thẳng trong mặt phẳng

I.Phương trình tổng quát của đường thẳng:

A.Các kiến thức cơ bản:

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

$ax+by+c=0\;(a^2+b^2\not=0)$

$\vec{n}=(a; b)$ là một vectơ pháp tuyến.

2. Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ nhận vectơ $\vec{n}=(a; b)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

3. Đường thẳng cắt trục $Ox$ tại điểm $A(a; 0)$ và $Oy$ tại điểm $B(0; b)\qquad (ab\not=0)$ có phương trình theo đoạn chắn:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ .

4. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc có dạng $y=kx+b$ , trong đó $k=\tan\alpha$ với $\alpha$ là góc giữa tia $Mt$ (phần của đường thẳng nằm phía trên $Ox$ ) với tia $Mx$ .

5. Đường thẳng qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có hệ số góc $k$ sẽ có phương trình:

$y-y_0=k(x-x_0)$

6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\Delta_1:\quad a_1x+b_1y+c_1=0$ và $\Delta_2:\quad a_2x+b_2y+c_2=0$ . Toạ độ giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}$
a) Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ thì $\Delta_1\equiv\Delta_2$

b) Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ thì $\Delta_1\parallel\Delta_2$

c) Nếu $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ thì $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ .

Đường thẳng đi qua giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có dạng:

$\lambda (a_1x+b_1y+c_1)+\mu (a_2x+b_2y+c_2)=0$

B. Bài tập:

Bài 1:

Viết phương trình các đường cao của tam giác $ABC$ biết $A(-1; 2),\quad ;B(2; -4),\quad ;C(1; 0)$ .

Baì 2:

Viết phương trình các đường trung trực của tam giác $ABC$ biết $M(-1; 1),\quad ;N(1; 9),\quad ;P(9; 1)$ là các trung điểm của ba cạnh tam giác.

Bài 3:

Cho đường thẳng $\Delta : ax+by+c=0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta '$ đối xứng của đường thẳng $\Delta$ :

a) Qua trục hoành.

b) Qua trục tung.

c) Qua gốc toạ độ.

Bài 4:

Cho điểm $A(1; 3)$ và đường thẳng $\Delta : x-2y+1=0$ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với $\Delta$ qua $A$ .

Bài 5:

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $d_1:\quad 2x-5y+6=0$ và $d_2:\quad -x+y-3=0$

b) $d_1:\quad -3x+2y-7=0$ và $d_2: 6x-4y-7=0$

c) $d_1:\quad \sqrt{2}x+y-3=0$ và $d_2:\quad 2x+\sqrt{2}y-3\sqrt{2}=0$

d) $d_1:\quad (m-1)x+my+1=0$ và $d_2: 2x+y-4=0$

Bài 6:

Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo $m$

$\Delta_1:\quad 4x-my+4-m=0$

$\Delta_2:\quad (2m+6)x+y-2m-1=0$

Bài 7:

Cho điểm $A(-1; 3)$ và đường thẳng $\Delta:\quad x-2y+2=0$ . Dựng hình vuông $ABCD$ sao cho hai điểm $B, C$ nằm trên $\Delta$ và các toạ độ của đỉnh $C$ đều dương.

a) Tìm toạ độ các đỉnh $B, D, C$ .

b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông $ABCD$ .

Bài 8:

Chứng minh rằng diện tích $S$ của tam giác tạo bởi đường thẳng $\Delta:\quad ax+by+c=0$ (với $a, b, c\neq 0$ ) với các trục toạ độ được tính bởi công thức: $S=\frac{c^2}{2|ab|}$ .

Bài 9:

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $P(6; 4)$ và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài 10:

Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $Q(2; 3)$ và cắt các tia $Ox, Oy$ tại hai điểm $M, N$ khác điểm $O$ sao cho $OM+ON$ nhỏ nhất.

Bài 11:

Cho điểm $M(a; b)$ với $a>0, b>0$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox, Oy$ tại hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 12:

Cho đường thẳng $d_1:\quad 2x-y-2=0, \qquad d_2:\quad x+y+3=0$ và điểm $M(3; 0)$ .

a) Tìm toạ độ giao điểm của [tex]d_1[tex] và $d_2$ .

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ , cắt $d_1, d_2$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ sao cho $M$ là trung điểm đoạn $AB$ .

Bài 13:

Cho tam giác $ABC$ có $A(0; 0), B(2; 4), C(6; 0)$ và các điểm $M$ trên cạnh $AB$ , $N$ trên cạnh $BC$ , $P$ và $Q$ trên cạnh $AC$ sao cho [tex]MNPQơ/tex] là hình vuông.

Tìm toạ độ các điểm $M, N, P, Q$ .

View more random threads:

.

**NguoiDien** · 08-03-2009, 09:01 PM

II. Phương trình tham số của đường thẳng:

A. Các kiến thức cơ bản:

1. Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và nhận vectơ $\vec{u}(a; b)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số:

$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{cases}$

2. Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và nhận vectơ $\vec{u}(a; b)$ (với $ab\not=0$ ) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc:

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

3. Đường thẳng đi qua hai điểm $M(x_1; y_1)$ và $N(x_2; y_2)$ có phương trình:

$\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}$

với quy ước rằng nếu mẫu bằng $0$ thì tử cũng bằng $0$ .

Chú ý: Khi $a=0$ hoặc $b=0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

B. Bài tập:

Bài 14:

Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau:

a) $\begin{cases}x=1-2t\\y=3+t\end{cases}$

b) $\begin{cases}x=2+t\\y=-2-t\end{cases}$

c) $\begin{cases}x=-3\\y=6-2t\end{cases}$

d) $\begin{cases}x=-2-3t\\y=4\end{cases}$

Bài 15:

Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:

a) $3x-y-2=0$

b) $-2x+y+3=0$

c) $x-1=0$

d) $y-6=0$

Bài 16:

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng $d$ trong các trường hợp sau:

a) $d$ đi qua $A(-1; 2)$ và song song với đường thẳng $5x+1=0$

b) $d$ đi qua $B(7; -5)$ và vuông với đường thẳng $x+3y-6=0$

c) $d$ đi qua $C(-2; 3)$ và có hệ số góc $k=-3$

d) $d$ đi qua hai điểm $M(3; 6)$ và $N(5; -3)$ .

Bài 17:

Cho hai đường thẳng

$d_1:\quad \begin{cases}x=x_1+at\\y=y_1+bt\end{cases}$

và

$d_2:\quad \begin{cases}x=x_2+cs\\y=y_2+ds\end{cases}$

( $x_1, x_2, y_1, y_2$ là các tham số). Tìm điều kiện của $a, b, c, d$ để hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ :

a) Cắt nhau

b) Song song

c) Trùng nhau

d) Vuông góc với nhau

Bài 18:

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm của chúng (nếu có):

a) $\Delta_1:\quad \begin{cases}x=1+2t\\y=-3-3t\end{cases}$

và

$\Delta_2:\quad 2x-y-1=0$

b) $\Delta_1:\quad \begin{cases}x=-2t\\y=1+t\end{cases}$

và

$\Delta_2:\quad \frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{-2}$

c) $\Delta_1:\quad \begin{cases}x=-2+t\\y=-t\end{cases}$

và

$\Delta_2:\quad \begin{cases}x=4s\\y=2-s\end{cases}$

d) $\Delta_1:\quad \frac{x+2}{-1}=\frac{y+3}{5}$

và

$\Delta_2:\quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+18}{-10}$ .