Sai lầm trong viết phương trình đường thẳng P2

**~~HTA~~** · 02-08-2010, 11:06 PM

Bài toán: Cho điểm A và các đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt cả hai đường thẳng .

Tạp chí Toán học tuổi trẻ đăng cách làm như sau: Xác định phương trình hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) chứa A và (d1); (Q) chứa A và (d2). Và nhận xét giao của hai mặt phẳng là đường thẳng cần tìm.

Vấn đề đáng nói ở đây là có phải với mọi bài toán có yêu cầu như bài trên đều có cách giải nhử trên? Câu trả lời là không phải như vậy.
Ta xét trường hợp:

đồng phẳng:
+ Ta không xét trường hợp

trùng nhau. Vì trường hợp này dù điểm A nằm ở vị trí nào đi nữa thì bài toán cũng có vô số nghiệm hình. Nghĩa là có vô số đường thẳng (d) thoả mãn.
+ Trường hợp

cắt nhau ta lại xét đến hai trường hợp:

A nằm trên mặt phẳng chứa

. Khi đó bài toán có vô số nghiệm hình
A không nằm trên mặt phẳng chứa

. Khi đó bài toán có 1 nghiệm hình. Là đường thẳng qua A và giao điểm của hai đường thẳng

+ Trường hợp

song song ta cũng xét hai trường hợp:

A nằm trên mặt phẳng chứa

. Khi đó bài toán có vô số nghiệm hình
A không nằm trên mặt phẳng chứa

. Khi đó bài toán không có nghiệm hình. Là đường thẳng qua A và giao điểm của hai đường thẳng

Các trường hợp này khi đi thi thực ra thì cũng ít gặp vì những người ra đề thường không muốn kiểm tra chỗ này. Tuy nhiên chúng ta cần hiểu rõ để tránh nhầm lẫn đáng tiếc.
Ta xét trường hợp:

không đồng phẳng (chéo nhau):
Nếu mới đọc đề bài rồi cắm đầu làm luôn, có lẽ chúng ta sẽ cho rằng nếu hai đường thẳng

chéo nhau thì luôn tồn tại đường thẳng d với mọi vị trí của điểm A. Điều này có đúng không? Chúng ta sẽ xét các ví dụ sau.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng có phương trình như sau:

Cách 2: Áp dụng cho học sinh học chương trình cơ bản.
+ Chuyển hai PT đường thẳng về dạng tham số (chú ý dụng hai tham số khác nhau).
+ Lấy hai điểm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng. Tìm điều kiện đế ba điểm M, N, A thẳng hang. Suy ra toạ độ của M,N
+ Viết PT đường thẳng qua M và N