Bài số học

**light_future96** · 05-29-2011, 10:39 AM

Chứng minh 3 chữ số tận cùng của số ${625}^{n}$ là 625 với n là số nguyên dương
Hỏi có những số có ba chữ số nào trên thay cho số 625 để mệnh đề trên vẫn đúng

View more random threads:

.

**Zun Đất** · 05-29-2011, 08:11 PM

với n=1 hiển nhiên mệnh đề đúng.với $n\geq 2$ thì ${625}^{n}-625=625\left({625}^{n-1} -1\right)$ chia hết cho 625*624=390000 nên ${625}^{n}-625$ chia hết cho 1000 do đó ${625}^{n}$ phải tận cùng bằng 625. giả sử có số $\overline{abc}=x\$ thỏa mãn mệnh đề thì ĐK cần là ${c}^{2}$ tận cùng bằng c $\Rightarrow c=0,1,5,6$ với n=2, để $\overline{abc}$ thỏa mãn mệnh đề thì $\overline{abc}\]^{2}-\[\overline{abc}$ chia hết cho 1000. với c=0 thì $\[\overline{abc}\]-1\$ tận cùng=9 nên nguyên tố cùng nhau với 2 và 5 nên nguyên tố cùng nhau với 1000 $[\Rightarrow [\overline{abc}\]\]$ chia hết cho 1000. vô lí.nếu c=1 thì $\overline{abc}$ tận cùng=1 nguyên tố cùng nhau với 1000 $\Rightarrow \[\overline{abc}\]-1$ chia hết cho 1000.vô lí.
Nếu c=5,6. Ta có ${x}^{2}-x=1000n,{625}^{2}-625=1000m\Rightarrow {x}^{2}-{625}^{2}+625-x=1000(n-m)\Leftrightarrow \left(x-625 \right)\left(x+624 \right)=1000(n-m)$ với $n,m\in N$ .c=5 thì x+624 tận cùng=9 nên nguyên tố cùng nhau với 1000 nên x-625 chia hết cho 1000. vô lí. nếu c=6 thì x-625 tận cùng =1 nguyên tố cùng nhau với 1000 nên x+624 chia hết cho 1000=>x=376. nên 376 thỏa mãn mệnh đề đặt ra.

**Tamduongkhach** · 05-30-2011, 10:18 AM

CM vừa dài vừa thiếu
-Ý 1: với $n\geq 2$ thì ${625}^{n}-625=625\left({625}^{n-1} -1\right)$ =625[(624+1)^n-1-1]=625.624.... thì mới rõ ràng
-Ý 2: nếu abc thỏa mãn thì abc(abc-1) chia hết cho 1000=2³.5³
mà abc và abc-1 ng tố cùng nhau nên 1 số chia hết cho 2³ số kia chia hết cho 5³=125
Vậy abc chỉ có thể là 125, 375, 625, 875 và sau khi loại trừ 2 trường hợp vì abc+1 ko chia hết cho 8 thì chỉ còn 375 và 625