Chứng minh 3 điểm I,J,M thẳng hàng

**dinhngocbich96** · 04-09-2011, 04:54 PM

Cho tam giác ABC có góc A=60độ, AB=c, AC=b(b>c). Đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M, gọi I,J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB, AC; H,K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB, AC.
a)Cm các tứ giác : AIEJ; CMJE nội tiếp(mình làm câu này rồi)
b)Cm: I,J,M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.
c) Tính độ dài BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b,c
D) Tính IH + JK theo b,c.:45::2:

View more random threads:

**bomkute1996th** · 05-01-2011, 07:30 AM

b.*Tứ giác CMJE nội tiếp $\Rightarrow \hat{MCE}+\hat{MJE}={180}^{0}$

Tứ giác AỊE nội tiếp $\Rightarrow \hat{IJE}=\hat{MCE}$

MÀ $\hat{IAE}=\hat{MCE}$ (cùng bù với $\hat{BAE}$ )

$\Rightarrow \hat{MCE}+\hat{EJM}={180}^{0}$

$\Rightarrow$ I,J,M thẳng hàng (đường thẳng Sim-sơn)

Tương tự: H,M,K thẳng hàng.

*Tứ giác CMJE nội tiếp nên $\hat{CJM}=\hat{CEF}$

Mà $\hat{CEF}=\hat{CAF}$

$\Rightarrow \hat{CJM}=\hat{CAF}$

$\Rightarrow JM // AF$

EF là trục đối xứng của (O) nên cung FB =cung FC

$\Rightarrow \hat{FAB} =\hat{FAC}$

Dễ chứng minh: $\Delta HAF=\Delta KAF$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AH=AK$

$\Rightarrow$ AF vuông góc với HK.

MÀ JM//AF nên JM vuông góc với HK. .

**bomkute1996th** · 05-01-2011, 08:16 AM

c.Kẻ BN vuông góc với AC

Ta có:BN=AB.sinA= $\frac{c\sqrt{3}}{2}$

AN=AB.cosA= $\frac{c}{2}$

CN=AC-An=b- $\frac{c}{2}$

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho $\Delta$ BNC vuông ta có:

${BC}^{2}={BN}^{2}+{CN}^{2}=\frac{3{c}^{2}}{4}+{b}^ {2}-bc+\frac{{c}^{2}}{4}$

$\Rightarrow BC =\sqrt{{b}^{2}-bc+{c}^{2}}$

$\Delta BEC$ đều có EM vuông góc với BC nên EM= MC.tg ${60}^{0}$ = $\frac{1}{2}.BC.\sqrt{3}$

Mà OE= $\frac{2}{3}$ nên R=OE= $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.BC.\sqrt{3}= \frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{{b}^{2}-bc+{c}^{2}}$

d.Gọi giao điểm của FK với (O) là Q.

Tứ giác EKEJKQ là hình chữ nhật nên JK=EQ.

Tứ giác FMKC nội tiếp nên $\hat{EFK}=\hat{MCK}$ hay $\hat{MFQ}=\hat{ACB}$

$\Rightarrow$ cung EQ=cung AB.

$\Rightarrow$ JK=AB.

Tương tự:IH=AC.

Vậy IH+JK= AB+AC=b+c. .