Chứng minh bất đẳng thức

**son93** · 11-22-2010, 09:16 PM

cho các số dương a, b Chứng minh rằng:
$\frac{(1+a^2b)(1+b^2)}{(1-a+a^2)(1+b^3)}\leq 2$

View more random threads:

.

**son93** · 11-24-2010, 12:13 AM

Nguyên văn bởi son93

cho các số dương a, b Chứng minh rằng:
$\frac{(1+a^2b)(1+b^2)}{(1-a+a^2)(1+b^3)}\leq 2$

Bài toán có khá nhiều cách chứng minh, Mình sẽ trình bày làm cho em lớp 10 đọc cũng hiểu như thế này nhé:
biến đổi tương đương về 1 tam thức bậc 2 ẩn a:
$f(a)=a^2(b^3+b+2)-2a(1+b^3)+2b^3-b^2+1$
$\Delta =-(b^6-b^5+2b^4+6b^3-2b^2+b+1)=-[b^4(b^2-b+2)+b(6b^2-2b+1)+1]<0$ với b dương.
vậy là f(a) không âm rồi! dấu bằng tự xét nhé! .

**son93** · 11-28-2010, 08:13 PM

Mình thêm 1 bài nữa nhé:
cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=2abc$
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a(2a-1)^2}+\frac{1}{b(2b-1)^2}+\frac{1}{c(2c-1)^2} \geq \frac{1}{2}$ .

**mathematician** · 01-11-2011, 03:05 PM

Đặt $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}$ từ giả thiết ta được $x+y+z=2$
BĐT tương đương $\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{y^3}{(2-y)^2}+\frac{z^3}{(2-z)^2}\ge \frac{1}{2}$
ta có $\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{(2-x)}{8}+\frac{(2-x)} {8}\ge \frac{3x}{4}$ (*)
ta có 2 BĐT tương tự với y và z ,cộng vế theo vế các BĐT này lại với nhau được đpcm.
Lưu ý rằng 2-x=y+z> 0 nên ta có thể sử dụng được bđt AM-GM ở (*) .Đăng thức xảy ra khi x=y=z=2/3, suy ra a=b=c=3/2 .