Đấu trường bất đẳng thức!!!!

**kuta tutu** · 08-06-2010, 09:09 PM

Mỗi bài toán - một kho tàng ...
Càng khai thác chúng ,ta càng thấy hay ...

bên kia có đấu trường phương trình ..hihi thì bên này có đấu trường bất đẳng thức...mình mở topic này mong rằng nhận được sự giúp đỡ của nhiều bạn về lĩnh vực toán học ..mong các bạn tham gia tích cực vào topic nè vì một điều thật đơn giản ...
Mỗi bài toán-một đỉnh cao
Ta chinh phục được,vui nào vui hơn...

mình khai trương bằng 1 bài nhé
1, cho các số thực dương a,b,c, thoả a+b+c = 3
chứng minh rằng :
$A = \frac{a}{b^2+1} + \frac{b}{c^2+1} + \frac{c}{a^2+1} \geq \frac{3}{2}$

View more random threads:

.

**kastryas** · 08-06-2010, 09:20 PM

Nguyên văn bởi kuta tutu

mình khai trương bằng 1 bài nhé
1, cho các số thực dương a,b,c, thoả a+b+c = 3
chứng minh rằng :
$A = \frac{a}{b^2+1} + \frac{b}{c^2+1} + \frac{c}{a^2+1} \geq 3$

Hàng khai trương của bạn sai rồi, bạn cho c tiến đến 0; a và b tiến đến 3/2 thì sẽ thấy đề sai :byebye: .

**kuta tutu** · 08-07-2010, 08:27 PM

chán quá ..mong mọi người tích cực lên nhé !

bài bất đẳng thức đó ..mình làm bằng phương pháp co-si ngược

ta có : $\frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{ab^2}{2b} = a - \frac{ab}{2}$

tương tự $\frac{b}{1+c^2} \geq b - \frac{bc}{2}$

$\frac{c}{1+a^2} \geq c - \frac{ca}{2}$

do đó $A \geq a+b+c - \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3 - \frac{ab+bc+ca}{2}$

mà $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) => ab+ac+ca \leq 3$

do vậy $A \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

dâu đăng thức xảy ra khi a=b=c=1 .

**kuta tutu** · 08-07-2010, 08:32 PM

thêm 1 bài nữa nhé ':

cho a,b,c,d > o . thỏa mãn a+b+c+d = 4

CM: $A = \frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+d^2} + \frac{d}{1+a^2} \geq 2$ .

**kuta tutu** · 08-08-2010, 11:09 PM

với bài này : mình làm thế này

$\frac{a}{1+b^2} = a - \frac{ab^2}{1+b^2} \geq a - \frac{ab^2}{2b} = a - \frac{ab}{2}$

làm ương tự với các biểu thức tiếp theo

cuối cùng ta dc : $A \geq a+b+c+d - \frac{ab+bc+cd+da}{2}$

mà $ab+bc+cd+da = (a+c).(b+d) \leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4} \leq 4$

=> $A \geq 4 - 2 = 2$
dấu = xảy ra khi a=b=c=d=1 .

**kuta tutu** · 08-08-2010, 11:17 PM

Các bạn hãy dùng kĩ thuạt co-si ngược để giải các bài này nhé

1, cho $a,b,c \geq 0$ có a+b+c = 3 CM

A = $\frac{a^2}{a+2b^2} + \frac{b^2}{b+2c^2} + \frac{c^2}{c+2a^2} \geq 1$

2, cho $a,b,c \geq 0 , a+b+c = 3$ CM

$A = \frac{a^2}{a+2b^3} + \frac{b^2}{b+2c^3} + \frac{c^2}{c+2a^3} \geq 1$ .

**kuta tutu** · 08-08-2010, 11:24 PM

1 bài mới nhé :

1, cho a,b,c>0 CMR

$A = \frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(c+a)^2} + \frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$ .

**GiangPhạm** · 08-08-2010, 11:44 PM

Nguyên văn bởi kuta tutu

1 bài mới nhé :

1, cho a,b,c>0 CMR

$A = \frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(c+a)^2} + \frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Dùng BDT cosi CM được VT $\geq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{bc} +\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)$

mà $\left(\frac{a}{bc} +\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

suy ra VT $\geq \frac{3}{4\sqrt[3]{abc}}$

lại có $\sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}\right)\frac{3}{4\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{9}{4\left(a+b+c \right)}$

suy ra dpcm .

**kastryas** · 08-09-2010, 12:41 AM

Nguyên văn bởi GiangPhạm

Dùng BDT cosi CM được VT $\geq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{bc} +\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)$

Cái này sai! .

**kastryas** · 08-09-2010, 12:47 AM

Nguyên văn bởi kuta tutu

rất ít bạn nhiệt tình tham gia nếu không muốn nói là không có ai

Cậu là chủ thớt do đó nếu cậu muốn người khác quan tâm thì cái quan trọng là cái cậu đưa ra có đủ hấp dẫn hay ko? Muốn hấp dẫn thì vấn đề thảo luận phải có chút mới mẻ và sáng tạo .. Tốt nhất đừng chép bài trong sách ra xong than vãn cứ như thách đố mọi người :byebye:

VD:

Nguyên văn bởi kuta tutu

1 bài mới nhé :

1, cho a,b,c>0 CMR

$A = \frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(c+a)^2} + \frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Thì chả lẽ tôi lại reply là Giải y như trên :byebye: .

Ðề tài: Đấu trường bất đẳng thức!!!!

Ðiều Chỉnh

Search Thread

Display

Đấu trường bất đẳng thức!!!!

View more random threads:

The Following 4 Users Say Thank You to kuta tutu For This Useful Post:

The Following 4 Users Say Thank You to kastryas For This Useful Post:

The Following 6 Users Say Thank You to kuta tutu For This Useful Post:

The Following 6 Users Say Thank You to kuta tutu For This Useful Post:

The Following 5 Users Say Thank You to kuta tutu For This Useful Post:

The Following User Says Thank You to kuta tutu For This Useful Post:

The Following 2 Users Say Thank You to kuta tutu For This Useful Post:

The Following 4 Users Say Thank You to GiangPhạm For This Useful Post:

The Following 2 Users Say Thank You to kastryas For This Useful Post:

The Following 6 Users Say Thank You to kastryas For This Useful Post:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn