Bất đẳng thức

**son93** · 07-14-2010, 11:30 AM

Diễn đàn ở bất đẳng thức im ắng quá, làm mạnh lên cho vui đi các bạn, minh có mấy bài
này muốn chia sẻ cùng các bạn nhé
cho các số dương
$a^2+b^2+c^2=1$
chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b ^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
bài toán tường đối dễ! các bạn làm nhé! post cả bài mơi lên nữa đi

View more random threads:

**Toantu** · 07-14-2010, 05:19 PM

Nguyên văn bởi son93

diễn đàn ở bất đẳng thức im ắng quá, làm mạnh lên cho vui đi các bạn, minh có mấy bài
này muốn chia sẻ cùng các bạn nhé
cho các số dương
$a^2+b^2+c^2=1$
chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b ^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
bài toán tường đối dễ! các bạn làm nhé! post cả bài mơi lên nữa đi

Áp dụng BĐT Cosi:

${b}^{2}+{c}^{2}\geq 2bc$
${c}^{2}+{a}^{2}\geq 2ac$
${a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab$

Suy ra: $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b ^2} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c }{ab}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{{a}^{2}+{b}^{2 }+{c}^{2}}{abc} \right)=\frac{1}{2abc}(1)$

Lại có : ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$
$\Rightarrow 1\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}(2)$

Từ (1)(2) suy ra : $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b ^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

**son93** · 07-14-2010, 06:02 PM

bạn làm sai rồi bạn ơi!

Nguyên văn bởi Jennypham

Áp dụng BĐT Cosi:

${b}^{2}+{c}^{2}\geq 2bc$
${c}^{2}+{a}^{2}\geq 2ac$ (đánh giá đúng, nhưng mình cần lớn hơn hoặc bằng)
${a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab$

Suy ra: $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b ^2} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c }{ab}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{{a}^{2}+{b}^{2 }+{c}^{2}}{abc} \right)=\frac{1}{2abc}(1)$
mình cần chứng minh là >= mà
Lại có : ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$
$\Rightarrow 1\geq 3\sqrt[3]{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}(2)$

Từ (1)(2) suy ra : $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^3}+\frac{c}{a^2+b ^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

.

**son93** · 07-14-2010, 06:03 PM

jennypham xem lại nhé! .

**m00n** · 07-14-2010, 06:44 PM

vừa tạm nghĩ ra 1 cách hơi dài,ko biết bạn nào có cách ngắn hơn không
đặt a+b+c=t ( $t\leq \sqrt{3}$ )
ta có:

$\sum a({b}^{2}+{c}^{2}).\sum \frac{a}{{b}^{2}+{c}^{2}}\geq {(a+b+c)}^{2}$
lại có:
$\sum a({b}^{2}+{c}^{2})=(a+b+c)-({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})$
và:
$(a+b+c)({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})\geq {({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}^{2}=1$
vậy:
$VT\geq \frac{{t}^{2}}{t-\frac{1}{t}}=\frac{{t}^{3}}{{t}^{2}-1}$
xét hàm số f(t) với đk của t được đpcm .

**son93** · 07-14-2010, 08:18 PM

Vậy mình làm bài này tạm thời theo 2 cách nhé:
nhưng sẽ trình bày 1 cách trước (còn cách nữa thì cứ từ từ, dần dần)
$2a^2(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{(2a^2+2-2a^2)^3}{27}=\frac{8}{27}<br /> \Rightarrow a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
đến đây là ổn rồi!
tiếp
$\frac{2}{(1-a^2)3\sqrt{3}}\geq a<br /> \Leftrightarrow \frac{2a}{(1-a^2)3\sqrt{3}}\geq a^2$
đến đây bạn có 3 bđt tương tự như trên nữa là có đpcm
còn cách 2 thì dùng đạo hàm mình sẽ trình bày sau (nếu bạn muốn xem hihi)
1 câu nữa vậy ab+bc+ca=1 thì bạn sẽ làm như thế nào
cũng có thể làm như trên, nhưng có 1 cách nữa nhẹ nhàng trong sáng hơn rất nhiều!
Bạn muốn xem không????(hihi)
mình sẽ trình bày nếu bạn muốn! .

**son93** · 07-15-2010, 08:11 PM

không ai muốn xem mình giải nữa à??? .

**son93** · 07-15-2010, 09:44 PM

CÁCH 2 DUNG ĐẠO HÀM NÈ:
BẠN DỄ DÀNG CHỨNG MINH ĐƯỢC:
VỚI 0<t<x THÌ TA LUÔN CÓ
$\frac{t}{1-t^2}\geq \frac{3t^2\sqrt{3}}{2}$
bạn chừ 2 vế rồi dùng đạo hàm để chứng minh chú ý 0<t<1
vậy là xong rồi! .

**son93** · 07-15-2010, 09:46 PM

CÒN VỚI ab+ac+bc=1 thì bạn nghĩ sao???
chắc chắn sẽ có nhiều cách giải hơn rồi đúng không?!
mình biết thêm cách dùng bất đẳng thức Trebusep! .

**khanhsy** · 07-16-2010, 09:56 AM

Anh Son93 pro quá :byebye: .

Ðề tài: Bất đẳng thức

Ðiều Chỉnh

Search Thread

Display

Bất đẳng thức

View more random threads:

phuongrw

The Following 6 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 7 Users Say Thank You to Toantu For This Useful Post:

The Following 5 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 3 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 5 Users Say Thank You to m00n For This Useful Post:

The Following 2 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 2 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 3 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 2 Users Say Thank You to son93 For This Useful Post:

The Following 3 Users Say Thank You to khanhsy For This Useful Post:

Bookmarks

Bookmarks

Quuyền Hạn Của Bạn