Chứng minh bất đẳng thức

***seven love*** · 06-09-2009, 02:54 AM

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . $(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8$

View more random threads:

.

**lovemenot** · 06-10-2009, 07:37 AM

Nguyên văn bởi *seven love*

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . $(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8$

BÀI NÀY CHƯA LÀM NHƯNG CÓ THỂ CM BẰNG BDT HOẶC XÉT HÀM CŨNG DC .

***seven love*** · 06-11-2009, 03:59 AM

bạn thử làm xem hj .

**kastryas** · 12-06-2009, 07:06 PM

Nguyên văn bởi *seven love*

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . $(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8$

bấm zô đây coi lời giải ở đây .

**khanhsy** · 03-25-2010, 11:26 PM

Nguyên văn bởi *seven love*

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . $(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8$

Ta đi từ bổ đề sau:
Nếu $a_1,a_2,....,a_k\in [m;n]m>0$ Thì $k^2\le A=\sum_{i=1}^k a_i.\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\le \frac{k^2(m+n)^2}{4mn}$

$(*)$ Thật vậy theo $AM-GM$ cho $k$ số dương ta được .
$\sum_{i=1}^k a_i\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}a_i}$
$\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}$
Nhân vế theo vế ta được
$\righ A\ge k^2(1)$ .
$(*)$ Xét hàn số :
$f(x)=x^2-(m+n)x+mn\le 0\foral x\in[m;n]$ $\righ x+\frac{mn}{x}\le (m+n)$
$\left{a_1+\frac{mn}{a_1}\le (m+n)\\......................\\ a_k+ \frac{mn}{a_k} \le (m+n)$
Cộng vế theo vế ta được và áp dụng $AM-GM$ ta được . .
$\righ k(m+n)\ge \sum_{i=1}^k a_i+\sum_{i=1}^k mn\frac{1}{a_i}\ge 2\sqrt[2]{mn.A}$
$\righ A\le\frac{k^2(m+n)^2}{4mn}(2)$
Từ $(1)&(2)$ Ta được bổ đề chứng minh xong .

Chú ý bất đẳng thức cho quá yếu .Ta có thể làm kết quả mạnh hơn :
Dấu bằng không xảy ra bên phải :
Dành cho thi Đại học là được.

Làm mạnh nó bằng bài Olampic đồng bằng sông Cữu Long

$a, \ b, \ c \ \in \ [1 \ ; \ 2] \\ CM: \\ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

$LHS:=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1+\frac{b}{a}+\frac {b}{c}+1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ \ (!)$
$gs:\ \ a\ge b\ge c\ \ \to 1\le \frac{a}{c}\le 2$
Ta có :
$(a-b)(b-c)=ab+bc\ge b^2+ac$
$\rightarrow \left{\frac{a}{c}+1\ge \frac{b}{c}+\frac{a}{b}\\1+\frac{c}{a}\ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ \ (!!)$
$(!)&(!!)\to LHS \le 5+2$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$$
Xét hàm số :
$y=x+\frac{1}{x}\ \ \ \ \ \ 1\le x\le 2$
$\ \ y'=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\ge 0 \ \ \forall x\ \ 1\le x\le 2$
$\to x+\frac{1}{x}\le \frac{5}{2}$
$\to LHS \le 10$
Đẳng thức xảy ra khi :
$\left{a=b=2\\c=1\\Cyclic$ .